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1、福建省泉州市南安市第一中学福建省泉州市南安市第一中学 20142015 学年学年高二上学期期末考试数学（理）试题高二上学期期末考试数学（理）试题第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一.选择题（共 12 小题，每小题 5 分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1. 为虚数单位，若，则的值为 （ ）i5 2aiaA B C D2i2i2i 2i 2.以下说法，正确的个数为 （ ）公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理个位是 5 的整数是 5 的倍数，
2、2375 的个位是 5，因此 2375 是 5 的倍数，这是运用的演绎推理A0 B2 C3 D43.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函 f x, a b fx, a b数在开区间内有极大值点 f x, a b（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据， 据表中提供的数据， 求出 y 关于 x 的线性回归方程为0.7x0.35， 那么表 y中值为 m2x3456y2.5m44.5（ ）A B C D43.154.535.若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1
3、+y） ，则等于（ 221f xx）A4 B4x C4+2x D4+2x26.下面说法：如果一组数据的众数是 5，那么这组数据中出现次数最多的数是 5；如果一组数据的平均数是 0，那么这组数据的中位数为 0；如果一组数据 1，2，x，4 的中位数是 3，那么 x=4；如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数其中错误的个数是 （ ）A1 B2 C3 D47.函数的图象在点处的切线方程为 ln2xf xx(1, 2)（ ）A B C D30xy20xy10xy 240xy8.如图，由函数的图象，直线及 x 轴所围成的阴影部分面积等于 ( )xf xee2x （ ）AB221ee221eeC
4、 D 22ee22ee9.函数在（0,1）内有极小值，则实数 a 的取值范围是 32yxaxa（ ）A B C D30,20,30,3310.某初级中学有学生 300 人，其中一年级 120 人，二，三年级各 90 人，现要利用抽样方法取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为 1，2，300；使用系统抽样时，将学生统一编号为 1，2，300，并将整个编号依次分为 10 段如果抽得的号码有下列四种情况：7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； 5，9，100，107
5、，121，180，195，221，265，299；11，41，71，101，131，161，191，221，251，281； 31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）A都可能为系统抽样 B都可能为分层抽样C都不能为系统抽样 D都不能为分层抽样11.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一1F2F22221(0,0)xyabab点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为 （ ）P2FbxyaA B C D55 22212.已知函数，若任意给定的总存在 32231f xaxax 3 42ag xx 00,2x 两个不同
6、的，使得成立，则实数的取值范围是 1,20,2ix i 0if xg xa（ ）A B C D 1,1 , 11, 1, 1 第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）二.填空题（共 4 小题，每小题 4 分，请把答案写在答题卡上）：13.函数的单调增区间为 2( )32lnf xxx14.在正方体中，分别为棱和的中点，则 sin，1111ABCDABC D,M N1AA1BBCM 的值为_1D N415.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为 20cm16.在平面几何里，已知的两边互相垂直，且，则边上Rt SAB,SA SBaSA bSB AB的高；拓展到
7、空间，如图，三棱锥的三条侧棱两两相 22abh ab SABCSASBSC、互垂直,且,则点到面的距离,SAa SBb SCcSABC_.h 三.解答题（共 6 小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17.(本题满分 12)已知函数的极值点为 和2( )4lnf xaxbxx12（）求实数a，b的值； （）求函数在区间上的最大值. ( )f x0,318.(本题满分 12 分)在数列中，且，na16a 1 11n nnaaann *(,2)nNn（1）求的值；234,a a a（2）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明。na19.(本题满分 12 分)如图，矩形所在的平面与平面垂直，且，AB
8、CDAEB120BAE，分别为的中点4AEAB2AD ,F G H,BE AE BC（） 求证：直线与平面平行；DEFGH（）若点在直线上，且二面角DBPAPGF的大小为，试确定点的位置4P520.(本题满分 12 分)已知函数（） 2( )ln(1)1xf xaxxaR（）若函数在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；( )f x2,)a（）当时，求证：（） 2a 112ln(1)241xxx2x 21.(本题满分 12 分)已知直线与椭圆相交于、两1yx 12222 by ax0abAB点 （1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；332AB（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点
9、） ，当椭圆的离心率OA OB O时，求椭圆长轴长的最大值22,21e22.(本题满分 14 分)已知函数2( )(2)ln .f xxaxax(1)当1a 时，求函数( )f x的极小值；(2)当1a 时，过坐标原点O作曲线( )yf x的切线，设切点为( , )P m n，求实数m的值；(3)设定义在D上的函数( )yg x在点00(,)P xy处的切线方程为:( ),l yh x当0xx时，若0( )( )0g xh x xx在D内恒成立，则称P为函数( )yg x的“转点”当8a 时，试问函6数( )yf x是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由 7南安
10、一中南安一中 20142015 学年度高二上学期期末考学年度高二上学期期末考理科数学试卷参考答案， 6 分242642(1)(2)( )26xxxxfxxxxx0,3x当变化时，与的变化情况如下表：x( )fx( )f x10 分11 分(3)4ln39(1)5ff ， 12 分max( )(3)4ln39f xf18.解：（1） 6 分23412,20,30aaa（2）猜测。下用数学归纳法证明： 7 分(1)(2)nann当时，显然成立； 8 分1,2,3,4n 假设当时成立，即有，则当时，由nk(4,)kkN(1)(2)kakk1nk得，1 11n nnaaann 111nnnaann故1
11、1 121 1(1)(2)211kkkkaakkkkkk ，故2(2)(2)(2)(3)kkkk时等式成立；1nkx(0,1)1(1,2)2(2,3)3( )fx00( )f x单调递增5单调递减4ln28单调递增4ln398由可知，对一切均成立。 12 分(1)(2)nann*nN19.解：（）证明：取的中点，连结，ADMMHMG分别是的中点， ，,G H,AE BC/,/MHAB GFAB平面FGH， 3 分M 又，且平面FGH，平面FGH，/MGDEDE MG 平面FGH 5 分/DE（）解：如图，在平面内，过作的垂线，记为，则平面. ABEAABAPAP ABCD以为原点，、所在的直线
12、分别为轴，轴，轴建立建立空间直角坐标AAPABADxyz系. Axyz.(0 ,0 ,0) , (0 ,4 ,0) ,(0 ,0 ,2) ,(2 3, 2,0) ,( 3, 1,0),( 3,1,0)ABDEGF， 7 分(0 ,2 ,0)GF (0 , 4,2)BD ( 3 , 5,0)BG 设，则. (0 ,2,0)GPGF ( 3 ,25,0)BPBGGP 设平面的法向量为，PBD1( , )x y zn则110,0,BPBD nn3(25)0, 420.xy yz取，得，3y 2 3z 52x .9 分1(52, 3 ,2 3)n又平面的法向量为， .10 分ABP2(0 ,0 ,1)n，解得或. 12 122122 32cos,2(52 )3 12 n nn nnn14故或（或）.
