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1、直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系复习1直线在平面内直线在平面内直线与平面相交直线与平面相交直线与平面平行直线与平面平行旗杆与地面的位置关系观察大桥的桥柱与水面的位置关系1.2.3 空间中的垂直关系 线面垂直莒县一中数学组1、理解直线和平面垂直的概念;2、掌握直线和平面垂直的判定定理及应用;3、掌握直线和平面垂直的性质定理及应用。思考1直线和平面垂直旗杆与地面中的直线的位置关系如何？一、空间两条直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一 点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。ABCCBADDAA ABCC AB将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊 （想象成一条直线）与桌面的
2、位置关系呈什么 状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置 关系如何？思考2思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？特征：直线垂直于平面内的任意一条直线BAC二、直线与平面垂直ABlAB如果一条直线AB和一个平面相交于一点O，并 且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就 说这条直线和这个平面垂直。这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足,垂线上一点到垂足间的线段,叫做这个点到 这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。O如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面 内的任意一条直线垂直。平面 的垂线 垂足平面内任意一 条直线按条件作出下列图形: (1)任意作一
3、个平面 与一条直线l，使l；pl(3)已知直线l和 点P，过P作直 线l的垂面。 (2)已知平面和 点P，过P作平面 的垂线plpl(1) 过空间一点P， 有且只有一条直线l 与已知平面垂直。(2) 过空间一点P，有且只有一个平面 与已知直线l垂直。 plAl如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线 ，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考4l如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直探究当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD
4、 所在直 线与桌面所在平面垂直（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你 同意他的说法吗？（2）如图，由折痕 ，翻折之后垂直关系 不变， ， 由此你能得到什么结 论？思考5线面垂直的判定判定定理 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直作用： 判定直线与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直思想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。已知求证：判定定理：推论ablm如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面, 那么另一条直线和这个平面的位置关系如何？也垂直于这个平面。已知 ，求证根据直线
5、与平面垂直的定义知又因为 所以又是两条相交直线，所以证明：在平面 内作 两条相交直线m，n因为直线 ，例1 已知：正方体中，AC是面对角线，BD是 与AC 异面的体对角线.求证：ACBDABDCAB CD证明：连接BD 因为正方体ABCD-ABCD 所以DD平面ABCD 又因为 所以 因为AC、BD 为对角线 所以ACBD 因为DDBD=D 所以AC平面DDB 所以ACBDABDCABCD例2 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC， ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.PABCD练习：如图A为BCD所在平面外一点，AC=AD，BC=BD，E为CD中点。 求证:CD面ABEAB
6、CDE练习:已知 ,垂足分别为 ，且 求证:(1) 平面 (2)BCPDAFE例 3:如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂 直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足 什么条件时， ？答：底面四边形ABCD对角线相互垂直探究直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”小结通过直线间的垂直，推证直线与平面垂 直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题 ）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.思想方法问题：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两 条直线是什么位置关系？平行lAB如果两条直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行。直线与平面垂直的性质定理已知：直线l平面，直线m平面,垂足分别为A、B。
7、 求证：l/m证明：假设直线m不与直线l平行， 过直线m与平面的交点B，作直线m/l ,由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m ,设m和m确定的平面为，与的交线为a, 因为直线m和m都垂直于平面. 所以直线m和m都垂直于交线a. 因为在同一平面内，通过直线上一点与 已知直线垂直的直线不可能有两条。 所以直线m和m必重合，即l/mmam例4过一点和已知平面垂直的直线只有一条。已知：平面和一点P。求证：过点P与平面垂直的直线只有一条。PB AaPA aB例5 有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长 10m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的 两点C,D（和旗杆脚不在同一条直线上），如果这两点 都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直 ，为什么？ABDC例6 已知：直线l平面,垂足为A,直线AP l.求证：AP在内。P MlA证明：设AP与l确定的平面为假设AP不在平面内则设则设 平面与平面交于直线线AM所以lAM因为为l，AM 又因为AP l，所以在平面内存在两条直线垂直于l,这是不可能的，所以AP 在平面内。
