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1、第六节Green 公式Gauss 公式推广一、高斯公式高斯公式第十章 一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式)高斯 目录 上页 下页 返回 结束 证明略 利用高斯公式，将第二类曲面积分转化为三重积分例1. 用Gauss 公式计算其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里利用Gauss 公式, 得 原式 =(用柱坐标)及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 例2
2、. 利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解: 作辅助面取上侧介于 z = 0 及z = h 之间部分的下侧. 所围区域为,则 利用重心公式, 注意*例3.设 为曲面取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标内容小结高斯公式及其应用 公式:应用:计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)作业： P213 1(1)(3)(5)思考与练习1 所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2) 为2、设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径试证证: 设 的单位外法向量为 则的夹角,积为V,在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式3、设函数其中 是整个 边界面的外侧. 分析: 高斯公式证:令由高斯公式得移项即得所证公式高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
