灰色预测模型

《灰色预测模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《灰色预测模型（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、系 统 工 程 理 论西南民族大学管理学院 汪虹系统工程理论灰色预测模型本讲介绍灰色预测的基本思想GM（1，1）模型的建立GM（1，1）模型用于预测冲击扰动与缓冲算子灾变预测系统工程理论灰色预测模型灰色预测的基本思想当一时间序列无明显趋势时，采用累加方法可生 成趋势明显的时间序列。比如与累加生成是使灰色过程由灰变白的有效方法。时间序列数据的累加趋势系统工程理论灰色预测模型灰色预测的基本思想对“累加”生成的时间序列的变化趋势，可建立 预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测，然后采用 “累减”方法进行逆运算，恢复原时间序列，得到预 测结果。系统工程理论灰色预测的类型按应用对象的不同，灰色预测可分为：

2、数列预测 对表征系统行为的指标值的发展变化进行预 测灾变预测 对表征系统行为的指标值超过阈值的异常值 将于何时再现进行预测系统工程理论灰色模型机理一般建模是利用数据序列建立差分方程，灰色建 模是将原始数据进行生成处理后建立微分方程。灰色模型（GM，grey model）兼有部分微分和部 分差分的性质。“微分”适应光滑，“差分”适应跳变。灰色建模的突出特点是少到 4 个数据也可建立精度较高的动态模型。系统工程理论灰色模型机理GM（n，N）表示 n 阶 N 变量微分方程模型。GM（1，N）模型适合于建立系统的状态方程，进 行变量间的动态关联分析。在 GM（1，N）模型中，N 个变量中的每一个变量在

3、任一时刻的值都依赖于该时 刻其它变量的值，故而对所有变量的预测值都必须同 时取得，难度较大。变量间的多重共线性还会使模型 精度变差。因此，比较之下，GM（1，1）更适合方便地用于 预测。系统工程理论灰色数据序列的生成灰色理论中常用的数据序列生成方法：累加生成（AGO）累减生成（IAGO）均值生成级比生成系统工程理论灰色数据序列的生成累加生成设 为原始数列，即令系统工程理论灰色数据序列的生成可得到原始数据序列的一次累加生成数列(1-AGO)：其中，系统工程理论灰色数据序列的生成类似可得原始数据序列的 r 次累加生成数列(r-AGO) ：其中，系统工程理论灰色数据序列的生成累减生成将数据序列中相邻

4、两数相减，便可得到累减生成 序列（1-IAGO）。由AGO算式容易得到uIAGO算式系统工程理论灰色数据序列的生成特别地，一次累加生成序列经一次累减便得到原 始数据序列。由令 r =1可得 系统工程理论灰色数据序列的生成均值生成 等距原始数据序列的相邻两数的平均值为均 值生成序列。若原始数据序列中出现空穴，可用均值生成进行 填补，该方法常用于补充不完整的历史数据。均值生成不能用于补充原始数据序列的起点和终 点。系统工程理论灰色数据序列的生成级比生成令原始数列定义级比可得级比序列：系统工程理论灰色数据序列的生成级比生成若原始数列的两端（ 和 ）为空穴，可用 右邻 的级比生成 和用 左邻的级比生成

5、 。用级比生成方法填补空穴所得的数据序列被称为 级比生成序列。 系统工程理论GM（1，1）模型的可建模条件根据灰色系统理论，仅当级比序列时，原始数据序列才能用于GM（1,1）建模。因为此时才能保证该覆盖被称为机理覆盖。注：参见，邓聚龙.灰预测与灰决策.武汉：华中科技大学出版社,2002系统工程理论GM（1，1）模型的可建模条件进一步地，当级比序列落入可容覆盖之中时，原始数据序列才适合于 GM（1,1）建模和预 测。该覆盖亦被称为数值覆盖。如果级比序列没有落入其可容覆盖中，可以考虑 对原始数据序列进行变换。常用数据变换方法有对数 变换、方根变换和平移变换。系统工程理论GM（1，1）模型的可建模条

6、件光滑比定义数据序列的光滑比光滑比在一定程度上反映了数据序列的光滑性， 常用于考察序列中的数据变化是否过于剧烈。 系统工程理论GM（1，1）模型的可建模条件准光滑序列若数据序列满足条件：则称该数据序列为准光滑序列。系统工程理论GM（1，1）模型的可建模条件准光滑序列一般地，非负准光滑序列经过累加生成后，都会 减少随机性，呈现出近似的指数增长规律。可以证明，非负准光滑序列只需经一次累加生成 即可用于建立GM（1，1）模型。在实际应用中，累加生成应适可而止，否则规律 性反而会受到破坏。系统工程理论GM（1，1）模型的建立设原始数据序列 非负，即其一次累加生成数据序列为 。通常， 具有指数增长规律，

7、而一阶微分方程 的解恰好具有指数增长形式。因而，可以认为， 满 足线性微分方程该方程被称为 GM（1,1）模型的白化方程。系统工程理论GM（1，1）模型的建立容易求出，形如的微分方程的通解为由初始条件 可得待定常数系统工程理论GM（1，1）模型的建立于是，系统工程理论GM（1，1）模型的建立按定义，于是，系统工程理论GM（1，1）模型的建立考虑到在 的短时间内， 到 不会 发生突变，故令 取时刻 t 和时刻 t+1 的平均值，于是得到或者，等价地系统工程理论GM（1，1）模型的建立上式中，令它正是原始序列的一次累加生成序列的紧邻均值 生成序列。于是，我们得到该式被称为GM(1,1)模型的基本形

8、式。系统工程理论GM（1，1）模型的建立令由最小二乘参数估计可以得到系统工程理论GM（1，1）模型的建立在 GM（1，1）模型中， 反映了 及 的发 展态势，被称为发展系数。 是从背景中挖掘出来的 数据，反映了数据变化的关系，被称为灰色作用量。可以求出， GM（1，1）基本模型 的时间相应序列为系统工程理论GM（1，1）模型的建立累减还原序列为累减还原序列即为模型的模拟值。利用模型模拟值即可进行预测：系统工程理论原始数据的非负化处理一般地，GM（1，1）模型要求数据序列非负。原始数据非负化的处理方法设有负值的原始数据序列为选定数据序列中的最小负数为系统工程理论原始数据的非负化处理原始数据非负化

9、的处理方法令显然，此时， 即为非负数据序列，可用于建立 GM（1,1 ） 模型。系统工程理论GM（1，1）模型的检验GM（1，1）模型通常采用残差检验。基本思想是按照所建模型算出累加序列，再累减 生成还原序列，将还原序列与原始序列进行比较，两 序列之差即为残差序列。设原始序列还原序列系统工程理论GM（1，1）模型的检验则残差序列其中 。相对误差序列平均相对误差系统工程理论GM（1，1）模型的检验精度检验等级参照表一般情况下，常用相对误差对模型进行检验。对给定相对误差 ，当 且 成立时，称 模型为残差合格模型。 精度相对误差 一级0.01 二级0.05 三级0.10 四级0.20系统工程理论GM

10、(1,1)模型例题灰色预测模型例题：设某地区的人口数据如下表所示。请对1995年1998年的人口数量进行预测。年份（t）1991199219931994 人口（万人）383.3775393.0404399.3632406.0071灰色预测模型例题的MATLAB程序系统工程理论GM(1,1)模型例题原始数据序列：进行级比检验：容易求出显然因此，原始数据序列适合于GM(1,1)建模和预测。 系统工程理论GM(1,1)模型例题1AGO生成数据序列：的紧邻均值生成序列：最小二乘参数估计：于是，GM(1,1)模型为系统工程理论GM(1,1)模型例题因为由可以求出累减还原序列： 系统工程理论GM(1,1)

11、模型例题残差序列：相对误差序列：平均相对误差：且 ，故模型为残差合格模型，可以用于预测 。系统工程理论GM(1,1)模型例题由和可以预测：年份t + 1 人口（万人 ） 19955412.6057 19966419.3576 19977426.2200 19988433.1947系统工程理论残差修正GM（1，1）模型当 GM（1，1）模型的精度不符合要求时，可以 利用残差序列建立残差 GM（1，1）模型对原模型进 行修正，以提高精度。设残差序列 其中 。若存在 ，当 时， 的符号一致，且，则称为可建模残差尾段。系统工程理论残差修正GM（1，1）模型取可建模残差尾段的绝对值，记为 ，得原始序列其

12、中， 。其1AGO序列 的 GM（1，1）模型的时间响应序列为系统工程理论残差修正GM（1，1）模型其累减还原序列为用 修正 ，可得残差修正GM(1,1)模型 ：此式即可用于预测。其中，残差修正项前的符号 应与残差尾段的符号保持一致。 系统工程理论残差修正GM（1，1）模型若对修正后的精度仍不满意，就只有考虑采用其 它模型或对原始数据序列进行适当取舍。另一种残差修正模型是采用原始数据序列的累加 生成序列的残差对累加序列进行修正，然后累减求出 模拟值。有研究人员认为，这种方法是为“检验而检 验”，而非为“预测而检验”。即便模型经修正后能 够通过误差检验，也是毫无意义的。系统工程理论残差修正GM（

13、1，1）模型残差修正GM(1,1)模型例题湖北省云梦县油菜发病率数据编号123456 发病率6.020.040.025.040.045.0编号78910111213 发病率35.021.014.018.015.517.015.0残差修正GM(1,1)模型例题的MATLAB程序系统工程理论残差修正GM（1，1）模型取前12个数据建模，可以求出模拟值平均相对误差第13个数据点的预测值为 18.05 ，与实际值15.0 比较，预测值的相对误差为 20.32% 。编号123456 发病率 6.0035.3733.2731.3029.4427.69编号789101112 发病率 26.05 24.502

14、3.0521.6820.4019.19系统工程理论残差修正GM（1，1）模型模拟值的残差当 时， 的符号一致，且 ， 可以使用残差尾端对模型进行修正。取 ，得残差尾端的绝对值序列编号 789101112 残差8.95-3.50-9.05-3.68-4.90-2.19系统工程理论残差修正GM（1，1）模型对 建立 GM(1,1) 模型，可以求出残差尾端绝对值序列的模拟值 利用残差修正 GM(1,1) 模型可以进一步可以求出 前12个数据的模拟值的平均相对误差为 25.25% 。根据残差修正 GM(1,1) 模型，第13个数据点的预 测值为 15.75 ，与实际值15.0比较，预测值的相对误 差为

15、 4.98% 。系统工程理论GM（1，1）模型用于预测在系统发展过程中，随时间推移，会不断有随机 扰动或驱动因素进入系统和影响系统。因此，用GM（1，1）模型进行预测时，精度较高 的仅是后的12个数据。另外，随时间推移，老数据的价值将逐步降低。 因而，应及时对GM（1，1）模型中的数据进行新陈代 谢，尤其是在系统因量变的积累而引致质变时。新陈代谢GM(1,1)模型例题的MATLAB程序系统工程理论新陈代谢GM（1，1）模型设有数据序列使用 建立GM(1,1)模 型，可以求出：平均相对误差为 0.24 %，其后的第一个预测值为116.77，预测值的相对误差为 5.29 %第二个预测值为136.14，预测值的相对误差为 8.94 %系统工程理论新陈代谢GM（1，1）模型使用 建立 GM(1,1) 模型，可以求出： 平均相对误差为 1.34 %，其后的 预测值为 144.33，预测值的相对误差为 3.46 %使用 建立GM(1,1)模 型，可以求出： 平均相对误差为 1.31%，其后的 预测值为 146.