运筹学—111层次分析

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1、信息系信息系 刘康泽刘康泽层次分析法（层次分析法（AHPAHP）信息系信息系 刘康泽刘康泽作比较判断时决策者的主观选择起相当大的作用。美国运筹学家萨蒂（Saaty）于1970年提出的层次分 析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)是一种将定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。各因素对目标的重要性的量化是非常重要的。 层次分析法把人的主观判断用数量方式表达和处理。它将系统评价人员（决策者）的思维过程系统化、 数量化、模型化，用科学的方法整理和综合人们的主观 判断，实现了定性分析与定量分析的相结合，信息系信息系 刘康泽刘康泽层次分析法虽然从数学原理上有着深刻的

2、内容，但一般掌握一些简单的数学知识就可以进行操作了。层次分析法常常适用于多准则、多目标的复杂问题的决策评价分析，层次分析法已成为了进行系统分析评 价的非常有效、实用的一种方法。层次分析法被广泛应用于工程、经济、军事、政治、外文等领域，解决诸如系统评价、资源分配、价格预 测、项目选择等许多重要问题，信息系信息系 刘康泽刘康泽层次分析法是通过分析复杂系统所包含的因素及 其相互关系，将问题分解为不同的组成因素，并按因 素间的相互影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集 组合，形成一个多层次的分析结构模型，即递阶层次 结构。根据问题的性质以及要达到的总目标，在每一 层次按某一规定的准则，对该层因素进行逐对

3、比较， 形成判断矩阵，通过计算判断矩阵的最大特征值及相 对应的特征向量，得出该层要素对于该准则的权重， 最终把系统分析归结为最低层（如决策方案）相对于 最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优 劣次序的排序问题，从而为决策方案的选择最优方案 提供依据信息系信息系 刘康泽刘康泽应用AHP决策时，大体可分为4个步骤进行：(一)明确问题，建立递阶层次结构 对复杂的社会经济问题 进行评价，先要明确问题的范围，提出具体要求、准则、各种约 束条件，以及包含的因素、各因素之间的关系等，这样就可以明 确要解决什么问题，以便收集所需信息资料，确定评价标准。根据对问题的了解和分析，把问题中涉及的因素按性质分

4、层 排列，最上层是目标层，表示系统所要达到的目标，一般只有一 个目标，如有多个分目标时，可再列出分目标层。中间层表示采 取某种措施或政策实现预定目标所涉及到的中间环节层、准则层 等。横向排出衡量达到目标的各项准则。最低层表示解决问题的 措施或方案，称为措施层或方案层，横向排出各种可能采取的方 案。信息系信息系 刘康泽刘康泽在分层排列的基础上，进而找出层次间各元素的联系，将有联系的元素用直线连接，当某元素与下一层的所有元素都有联系时，称为全层关系，否则，称为不完全层次关系。这样就建立了评价对象的递阶层次结构。目标准则 m准则 2准则 1方案 n方案 3方案 2方案 1目标层准则层方案层信息系信息

5、系 刘康泽刘康泽(二)建立判断矩阵。递阶层次结构建立后，就可以逐层逐项 进行元素之间的比较，针对上一层的某元素，对下一层次各个元 素的相对重要性进行两两比较，判断出优劣。为使比较结果定量 化，比较时使用标度法将任意两个方案关于某一准则相对优越程 度定量描述，并写成矩阵形式，称为判断矩阵。1、同样重要：两元素对某一属性具有同样重要性；3、稍微重要：对某一属性,一元素比另一元素稍微重要；5、明显重要：对某一属性,一元素比另一元素明显重要； 7、重要得多：对某一属性,一元素与另一元素相比占主导地位； 9、极端重要；对某一属性,一元素与另一元素相比占绝对的主 导地位。层次分折法常采用19标度方法，对不

6、同情况的评比给予数 量描述。信息系信息系 刘康泽刘康泽2、4、6、8 上述两相邻判断的折衷：表示需要在上述两 个标度之间折衷时的定量标度。上述各数的倒数表示反比较：若元素i与j相比较得判断则因素j与i比较的判断：假定C 层元素中Ci 与下一层次中P1，P2， ， Pn有联系， 以Ci为标准， P1，P2， ， Pn之间两两进行比较，结果记为bij ，则一般可写为如下形式：信息系信息系 刘康泽刘康泽则B 称为对准则Ci 的判断矩阵。判断矩阵表示针对上一层某元素而言，下一层次中各相关 元素相对重要性的比值。判断矩阵中bij的值是根据数据资料和系统评价人员的经验 经过反复研究后确定的，判断过程中取得

7、一致性是非常重要的 ，要避免甲比乙优，乙比丙优，丙又比甲优的循环现象。但由 于客观事物的复杂性，评价人员认识上的多样性，判断矩阵有 可能出现不完全一致性，这将会影响层次分析法的准确性，所 以在确定bij时要尽可能防止出现矛盾现象。信息系信息系 刘康泽刘康泽(三) 进行层次单排序。进行层次单排序，就是根 据判断矩阵，确定本层次各元素，以上一层的某一 个元素为标准的重要性次序的权值。最常用的计算 方法有求和法与方根法。(四) 进行层次总排序。进行层次总排序，就是确定递阶层次结构中的最底层(方案层)中的每一个元素(方案)在总目标(最上层元素)中的权重。信息系信息系 刘康泽刘康泽目标层O(选择旅游地)

8、P2 黄山P1 桂林P3 北戴河准则层方案层C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.信息系信息系 刘康泽刘康泽“选择旅游地”思维过程的归 纳将决策问题分为3个层次:目标层O，准则层C，方案层P； 每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完 成以上步骤，给出决策问题的定量结果。信息系信息系 刘康泽刘康泽 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两

9、对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性A成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1, , Cn对O的权向量选 择 旅 游 地信息系信息系 刘康泽刘康泽成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量信息系信息系 刘康泽刘康泽成对比较完全一致的情况满足 的正互反阵A称一致阵，如 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即一致阵 性质成对比较阵和权向量信

10、息系信息系 刘康泽刘康泽2 4 6 8比较尺度aij Saaty等人提出19尺度aij 取值 1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9尺度 1 3 5 7 9 相同 稍强 强 明显强 绝对强aji = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵 ，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。 便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量信息系信息系 刘康泽刘康泽 一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n 阶

11、一致阵的唯一非零特征根为n可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51n1 234567891110为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下信息系信息系 刘康泽刘康泽“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w =(0.263,

12、0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致 性检验信息系信息系 刘康泽刘康泽组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵CnBn最大特征根 1 2 n 权向量 w1(3) w2(3) wn(3) 信息系信息系 刘康泽刘康泽第3层对第2层的计算结果k10.595 0.277 0.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.23

13、60.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T信息系信息系 刘康泽刘康泽组合 权向量第1层O第2层C1,Cn第3层P1, Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由

14、第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵信息系信息系 刘康泽刘康泽层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标 准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。信息系信息系 刘康泽刘康泽 二. 层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人

15、才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题 ，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。信息系信息系 刘康泽刘康泽 国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡 献收 入发 展声 誉关 系位 置供选择的岗位例1 国家实力分析例2 工作选择信息系信息系 刘康泽刘康泽 过河的效益A经济效益 B1社会效益 B2环境效益 B3节 省 时 间 C1收 入 C2岸 间 商 业 C3当 地 商 业 C4建 筑 就 业 C5安 全 可 靠 C6交 往 沟 通 C7自 豪 感 C8舒 适 C9进 出 方 便 C10美 化 C11桥梁 D1隧道 D2渡船 D3（1）过河效益层次结构例3 横渡江河、海峡 方案的抉择信息系信息系 刘康泽刘康泽过河的代价A经