《第六章_线性变换_68180769》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章_线性变换_68180769（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第六章第六章 线性变换线性变换映射：映射：，如果有一个法则，如果有一个法则，它使得，它使得 X 中每中每,XY 个元素个元素，在，在 Y 中有唯一确定的元素中有唯一确定的元素与之对应，则称与之对应，则称为为 X 到到 Y 的一个映射，记作的一个映射，记作，: XY 称为称为在在下的象，下的象，称为称为在在下的原象。下的原象。注：注：。 ,X 对变换：一个集合到自身的映射。变换：一个集合到自身的映射。线性变换的定义与性质线性变换的定义与性质定义定义 设设 V 是数域是数域 F 上的线性空间，上的线性空间，是是 V 的一个变换，的一个变换，如果满足条件：如果满足条件：（1）； V,（2）， kF
2、,V,kk 则称则称是是 V 上的线性变换或线性算子。上的线性变换或线性算子。(1), (2)等价于条件：等价于条件：,k lFV 。 klk l 例：设例：设：，定义为，定义为，c 为常数。为常数。-数数nnRR c乘变换或位似变换。乘变换或位似变换。c=0-零变换，记为零变换，记为 o。c=1-恒等变换，记为恒等变换，记为。例：设例：设 是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转 角的变角的变换换设设，则，则 ,TTx yx y 2cossinsincosxxyyxy 记记，则，则是一个线性变换。是一个线性变换。cossinsincosA A 例：判断下列变换
3、是否是线性变换例：判断下列变换是否是线性变换(1) ;12323,1,TTa a aa a(2) ;12323,0,TTa a aa a(3) ;12312231,2,TTa a aaa aa a(4) .2 123123,3TTa a aa aa线性变换的基本性质线性变换的基本性质（1）； （2）； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若，则，则；sskkk22111122sskkk若若，则，则。sskkk2211sskkk2211（4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。3线性变
4、换的运算线性变换的运算-线性空间线性空间上所有线性变换的集合。上所有线性变换的集合。 VLV定义定义 设设，它们的和，它们的和定义为定义为 VL, .,V易证易证，即线性变换的和仍是线性变换。，即线性变换的和仍是线性变换。 VL，有，有FlkV, klklklklklkl 定义定义 设设，与与的数量乘法的数量乘法定义为定义为 FkVL,kk .,Vkk同样同样 .VLk可以直接验证，可以直接验证，下列性质成立：下列性质成立： ,FlkVL（1）； （2）；（3）； 0（4）；0（5）；1（6）； kllk（7）；lklk（8）.kkk定理定理 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域对于上述定义的
5、加法和数量乘法构成数域上上 L VF4的线性空间。的线性空间。定义定义 设设，定义线性变换的乘积，定义线性变换的乘积为为 VL, .,V易证易证，且，且，变换的乘积，变换的乘积 VL FkVL,还有如下性质：还有如下性质：（1）； （2）；（3）；（4）； kkk（5）；（6）.ooo注：线性变换的乘法交换律和消去律不成立。注：线性变换的乘法交换律和消去律不成立。定义定义 设设，如果存在，如果存在，使得，使得 VL VL则称则称是可逆的，是可逆的，称为称为的逆变换。的逆变换。(逆变换是唯一的。逆变换是唯一的。)的逆变换记为的逆变换记为，且，且.1 VL1规定：规定：，则，则01,kk 1,nk
6、mnm nmmnk 注意：注意：。kkk 5定义：设定义：设，且，且， 1nfxFx 1 110nn nnfxa xaxa xa 给定给定，称，称为线为线( )L V 1 110nn nnfaaaa 性变换性变换的多项式。显然的多项式。显然。 ( )fL V线性变换在一组基下的矩阵线性变换在一组基下的矩阵定理定理 1 设设是是 n 维线性空间维线性空间 V 的一个线性变换，的一个线性变换，是是 V 的一组基，则的一组基，则 V 中任一向量中任一向量的像的像由由n,21 基的像基的像所完全确定。所完全确定。 n,21设设是是 V 的一组基，则的一组基，则可可n,21 ,1,2,iin 由由线性表
7、出，设线性表出，设n,21 nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211记记，则有，则有 nn,2121 Ann,2121称称 A 为线性变换为线性变换在基在基下的矩阵。下的矩阵。n,216注注 1：A 不一定是可逆矩阵。不一定是可逆矩阵。注注2：。 1212,nnAA 定理定理 2 设线性变换设线性变换在基在基下的矩阵为下的矩阵为 A，向量，向量n,21和和在这组基下的坐标分别是在这组基下的坐标分别是和和 T n,x,xxx21，则，则 y=Ax.T n,y,yyy21证明：因为证明：因为12,nx 1
8、2,ny Ann,2121 121212,nnnxxAx 即即 y=Ax.例例 设线性变换设线性变换在基在基下的矩阵为下的矩阵为123, 123 456 789A 求求在基在基下的矩阵下的矩阵 B。321, 例例 设设是是的一组基，的一组基，是是的线性变换，且的线性变换，且123, 3R3R，求，求在这组基下的矩在这组基下的矩 132231, 阵；若阵；若在在下的坐标为下的坐标为，求，求在这组在这组123, 2, 1,1T 基下的坐标。基下的坐标。线性变换与矩阵的一一对应关系线性变换与矩阵的一一对应关系7引理引理 设设是是 n 维线性空间维线性空间 V 的一组基，则对任意的一组基，则对任意n,
9、21给定的给定的 n 个向量个向量都存在线性变换都存在线性变换，使得，使得n,21。 ,n,iii21证明：设证明：设是任一是任一 n 维向量，维向量，1122=nnccc定义一个变换定义一个变换为：为： 1122 1=nnnii icccc 则有则有。以下证明。以下证明是一个线性变换。是一个线性变换。 =,1,2,iiin 设设，11221122=,=nnnnxxxyyy 则则 111111nnniiiiiii iiinnniiiiiii iiixyxyxyxy 1111nniiii iinniiii iikkxkxkxkxk 定理定理 1 设设是是 n 维线性空间维线性空间 V 的一组基，
10、的一组基，n,21是任一是任一 n 阶矩阵，则有唯一的线性变换阶矩阵，则有唯一的线性变换满足满足 ijaA 。 Ann,2121证明：构造向量如下：证明：构造向量如下：1122=,1,2,jjjnjnaaajn8由引理，存在线性变换由引理，存在线性变换，使得，使得，于，于 =,1,2,iiin 是是 121212,nnnA 即存在线性变换即存在线性变换在基在基下的矩阵是下的矩阵是 A。n,21如果有两个线性变换如果有两个线性变换在基在基下的矩阵都是下的矩阵都是 A, n,21则则 121212,nnnA 即即 ,1,2,.iiin 例例 已知已知的一组基，求的一组基，求(1)线性线性2 121, 2,1,3TTR是变换变换，使，使在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是; (2) 求线性变换求线性变换1234 ，使得，使得。 121,0,0,1TT 定理定理 2 设设 V 是是 F 上上 n 维线性空间，则维线性空间，则 L(V)与与 Mn(F)同构。同构。证明：在证明：在 V 中取一组基中取一组基，设，设，则，则n,21,( )L V 1212,nnA 1212,nnB 定义映射定义映射，使得，使得。易证。易证是双射，是双射，: ( )nL VM A 且且 121212121212,nnnnnnABAB 即即 。 对任意的对任意的，有，有kF 1
