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1、 第五章 三维旋转群SO(3)本章将讨论物理上常用的一种李群三维旋转 群 SO(3). 旋转群在物理学的应用中占有十分重要 的地位. 它不仅是描述物理系统在普通坐标空间中各向同 性的 对称群，也是处理物理系统内部对称性的有用工 具. 本章我们将介绍三维旋转群SO(3)的基本知识. 5.1 三维旋转群SO(3)SO(3)群是三参数 的李群，在 4.5节 例3中，我们曾求得SO(3)群的群元素. 在那里， 三个 群参数选为坐标系绕三个坐标轴的三个转角 、 、. 在实际应用中，人们通常取三个欧勒角 作 为SO(3)群的群参数. 这一节，我们将导出该情 况下， SO(3)群的群元素的具体形式. 1 1
2、采用欧勒角描述SO(3)群的转动时，其转动 方 式如下：(1) 先将坐标系绕z轴转 角，这时矢量 变 为 ，其矩阵形式为：其中(2) 接着绕新坐标系的 轴转 角，变矢量 为 ，其矩阵形式为： 2 2显然这样绕新坐标系 轴的转动，变成绕原坐标系 坐 标轴的转动，其中将(1)与(3)代入(2)得 与 的变换关系(3) 最后绕 轴转 角，变矢量 为 , 其矩阵形式为3 3而将(4)与(6)代入(5)式得 与 之间的变换关系为 ： 其中4 4亦即这就是用三个欧勒角 、 、 表示的SO(3)群 的 群元素的表达式. 其中 与 是绕子z轴的转角 ， 是球坐标系中的方位角，它们处在范围 ,. 为绕y轴的转角
3、，是球坐标系中的 极角，处在范围 .在上式中取 ，得： 5 5因此，单位元不仅处在零参数 处，亦处 在 与 处，所以三个欧勒角不是正则 参 数. 5.2 SO(3)群与SU(2)群同态为了求得SO(3)群的表示，我们先讨论 SO(3) 群与SU(2)群的同态关系. 然后，通过研究SU(2) 群的不可约表示，来得到SO(3)群的不可约表示.在4.3节例3中我们曾求得SU(2)群的群元 素 为：6 6SU(2)群与SO(3)群一样也是一个三参数李群.SO(3)与SU(2)两群间存在着同态关系，具体地 说就是SO(3)群中的一个元素对应于SU(2)群中的两 个元素，下面我们来证明这一结论.设三维空间
4、矢量 的分量为 . 它与 泡利矩阵的点积为：上式表明：M是一个无迹厄米矩阵, 且取 ，并对M作相似变换 7 7由于U是幺正矩阵，所以 . 另矩阵的迹在 相似变换下不变，所以 与 一样也是一无迹 厄 米矩阵. 由于任何 无迹厄米矩阵都可由泡 利 矩阵线性组合给出，所以 可以表示成此时 由于矩阵的行列式在 相似变换下不变，所以 ，亦即即由 所构成的相似变换(1)与正交变换一 样, 不改变矢量的长度，因此每一个 应对应 一 个三维空间的正交变换. 亦即，对于8 8对应于下面我们给出每一个 所对应的三维空间 正 交变换 的具体表达式. 将(1)、(2)与(4)代入(3)得由上式可以确定出 与 之间 的
5、 变换关系9 9从而可以求得这里的 就是三维空间中的一个正交变换矩阵， 进 一步可以证明这种证明是简单的，正交变换矩阵的行列式只 能 是 , 即 要么是+1， 要么是1. 而的两参数空间1010是不连通的. 由于当a=1, b=0时，f(a,b)=+1, 所以在整 个参数空间， . 因此 代表三维空间 的一个纯转动变换. 也就是说，对于每一个 ， 都有一个 与之对应.下面我们来证明，这个对应关系是同态的.设现在要证明的是 ，即两元素乘积的映射等于 两元素映射的乘积.由前面的(2)、(3)、(4)与(6)式得1111两边用U与 作用得亦即另外根据假设因此这证明了(8)式表示的映射，保持了乘法规律
6、不同，因 此 SU(2)与SO(3)间存在同态对应关系.上面我们只证明了SU(2)与SO(3)群间的同态对应 关 系，下面我们将证明，这种对应关系不是11的，而 是 SU(2)的两个群元素，对应于SO(3)的一个群元素. 1212因为对于任意的 由于 所以 应对应于SO(3)中的同一元素，亦即 SU(2) 中的两个元素对应于SO(3)中的一个元素. 由于上述同 态 特点，通常称SU(2)是SO(3)的覆盖群，而商群 与SO(3)同构. (1)、(7)两式仅给出了一般情况下, 与 矩阵元间的关系，下面我们来求一下，对应于5.1节 用 欧勒角表示的 应具有 的 形式. 设 取形式1313其中 为实数，则(1)式中的 ，b=0, 将 它 们代入(7)式得：即 对应于绕z轴转 角的正交变换矩阵，进一 步 再假即此时(1)式中的 ， , 将它们 代 入(7)式得：1414即此时 ，是绕y轴转 角的正交变换矩 阵.由于 ，所以它们对 应 的1515亦即这就是与用欧勒角表示的正交变换矩阵 所 对 应的 ，将其与(1)式相比较知通常将a，b的上述形式称为凯莱克莱因(Cayley- Klein)参数.由上式可以看出，当 ，（或 ） 时， ， . 所以 , 但此时 1616保持不变，因此一个 对应于两个. 1717
