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1、第五章 微分变换与雅可比5.1 微分变换为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。一.变换的微分假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。若它的元素是变量x的函数，则T的微分为:例如给定变换T为：二. 微分运动所以得设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转来表示，即根据齐次变换的相对性，若微运动是相
2、对某个杆件坐标系i（动系）进行的(左乘)，则T+dT可以表示为则相对基系有dT=0T，相对i系有dT=Ti 。这里的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。所以得令三.微分平移和微分旋转由于微分旋转0 ，所以sind，cos1，Vers0，将它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式:微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为:于是得四. 微分旋转的无序性当0 时，有sind，cos1若令x=dx，y=dy， z=dz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为略去高 阶无穷 小量两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效左乘与右乘等效。同理可得结论：结论：微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般
3、旋微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋转）的一个重要区别。转）的一个重要区别。若Rot（x，y，z） 和Rot（x，y，z） 表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：上式表明：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。kxd=x， kyd=y ， kzd=z所以有由等效转轴和等效转角与 等效，有即将它们代入得因此可以看成由 和 两个矢量组成， 叫微分转动矢量， 叫微分平移矢量。分别表示为和 合称为微分运动矢量，可表示为解：例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平移矢量 ，微分旋转矢量 ，求微分变换dA。五五. .两坐标系之间的微
4、分关系两坐标系之间的微分关系因为将它们代入前面的方程现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就 是固定系（基系）0系。得其中上式简写成对于任何三维矢量 ，其反对称矩阵 定义为：相应地，任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢量 ，微分旋转矢量 ，求A系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量A。解：因为已知 ，可以根据前面的公式求得dA和A。也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即求得 ，代入代入为了验证这一结果，先求A再得dA验证的结果是与上例dA=A的计算结果完全一样。5.2 5.2 雅可比矩阵雅可比矩阵5.2.1 5.2.
5、1 雅可比矩阵的定义雅可比矩阵的定义存在 怎样 的关 系？两空间之间的线性映射关系雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可以用来表示两空间之间力的传递关系。首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图所示。两自由度平面机械手 容易求得将其微分得写成矩阵形式假设关节速度为 ，手爪速度为 。简写成 ： dx=Jd。式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移d与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。对dx=Jd两边同除以dt，得可以更一般的写成 。因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的
6、线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度， 为关节速度。J若是6n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。由 ，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即1和2的改变会导致J的变化。对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当2=0或2=180时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵
7、的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即 。 上例平面2R机械手的逆雅可比于是得到与末端速度 相应的关节速度：显然，当2趋于0（或180）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。5.2.2 雅可比矩阵的构造法雅可比矩阵 既可以当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可以看成是微分运动转换的线性关系，即将手爪的线速度和角速度表示为各关节速度的线性函数：一、矢量积的方法(1) 对于移动关节i，则(2) 对于转动关节i，则式中， 表示手爪坐标原点相对坐标系i-1的位置矢量在基坐标系
8、0中的表示，即 ； 是坐标系i-1的z轴单位矢量（在基坐标系0中表示）。二、微分变换法雅可比矩阵 的第列为式中，n, o, a和p是 的四个列向量。因此，这种构造法只需要知道各连杆变换 就能很容易求出雅可比，而不需要求导和解方程等计算。三、两种方法的转换关系由上述两种方法得出的雅可比存在以下的关系：或5.3 5.3 机器人的静力学机器人的静力学存在怎样的关系？机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为称为关节力矢量利用虚功原理，令各关节的虚位移为qi ，末端执行器相应的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等
9、，即简写为:又因为 , 所以得到 与 之间的关系式中 称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则 把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J雅可比JT若已知则有T 0 0 T B A A B JTJ根据前面导出的两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换关系，可以导出A和B之间广义操作力的坐标变换关系。例：如图所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为 ，若关节无摩擦力存在，求力 的等效关节力矩 。解：由前面的推导可知所以得例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（Os）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩 ，求这 时作用在螺钉上的力和力矩 。( )解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：S T S T 微分运动关系时：静力传递关系时：Class is over. Bye-Bye!
