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1、第3章 线性系统的可控性和可观测性 第三章 线性系统的可控性与可观测性本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控 、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性 的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是 在实际应用中都是很有用的。1第3章 线性系统的可控性和可观测性 3.1 可控性和可观测性的定义 3.2
2、线性定常连续系统的可控性判据（）3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（）3.4 对偶原理第三章 线性系统的可控性与可观测性2第3章 线性系统的可控性和可观测性 3.1 3.1 可控性和可观测性的定义可控性和可观测性的定义 一可控性与可观测性的物理概念一可控性与可观测性的物理概念系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。p如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响 和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是可 控的，或者更确切的说是状态可控的，否则就称系统 为不完全可控
3、的，或简称为系统不可控。p如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就 称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。3第3章 线性系统的可控性和可观测性 例3-1：给定系统的状态空间描述为结构图表明：通过控制量u可以控制状态x1和x2，所 以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不 能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。图3-1 系统结构图4第3章 线性系统的可控性和可观测性 二二 可控性定义可控性定义1 1状态可控状态可控考虑n维线性时变系统的状态方程如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态x(t0) =x0，存在一个时刻 和一个无约
4、束的容许控制u(t)， ，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.5第3章 线性系统的可控性和可观测性 2 2系统可控系统可控如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（ ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑n维线性时变系统的状态方程6第3章 线性系统的可控性和可观测性 3 3系统不完全可控系统不完全可控对于线性时变系统取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。 7第3章 线性系
5、统的可控性和可观测性 4 4状态可达与系统可达状态可达与系统可达对于线性时变系统若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。 8第3章 线性系统的可控性和可观测性 三可观测性定义三可观测性定义1系统完全可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量的初值x(t0)，则称系统在t0, t1内是完全可观测的，简称可
6、观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在t0, )内是完全可观测的。 9第3章 线性系统的可控性和可观测性 2系统不可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态的初值xi(t0)，i=0,1,n，即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定，则称系统在t0, t1内是不完全可观测的，简称不可观测。 10第3章 线性系统的可控性和可观测性 3. 2 3. 2 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据( () )一、线性定常连续系统的可控性判据（一、线性定常连续系统的可控性判据（）1 1格拉姆矩阵判据格拉
7、姆矩阵判据 线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时 刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。 11第3章 线性系统的可控性和可观测性 证：充分性：已知W(0, t1)为非奇异，欲证系统为完全 可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0可 构造控制u(t)为： 则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:这表明：对任一取定的初始状态x00 ，都存在有限 时刻t10和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态 x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全可控。12第3章 线性系
8、统的可控性和可观测性 必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 ，使其中|为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有13第3章 线性系统的可控性和可观测性 因系统完全可控，根据定义对此非零向量 应有 0此结果与假设 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成立。因此，若系统完全可控， W(0, t1)必为非奇异。 14第3章 线性系统的可控性和可观测性 2 2秩判据（秩判据（）1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为则矩阵A满足其特征方程，即2）推论1：矩阵A的k (kn)次幂可表示为A的(n-1)阶多项式注：此推论可用以简
9、化矩阵幂的计算。 15第3章 线性系统的可控性和可观测性 3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式例3-4：已知 ，计算A100=?解：A的特征多项式为：由凯莱-哈密顿定理，得到16第3章 线性系统的可控性和可观测性 故根据数学归纳法有所以： 17第3章 线性系统的可控性和可观测性 4 4）秩判据（）秩判据（）线性定常系统 完全可控的充分必要条件是 其中: n为矩阵A的维数， 称为系统的可控性判别阵。注：秩判据是一种比较方便的判别方法。18第3章 线性系统的可控性和可观测性 证明：充分性：已知rankS=n，欲证系统完全可控 ，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有： 为奇异，这
10、意味着存在某个非零n维常向量使将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则可得到:19第3章 线性系统的可控性和可观测性 由于0，所以上式意味着S为行线性相关的，即 rankSn 。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n ，采用 反证法。反设rankSn ，这意味着S为行线性相关，因此必存在一个非零n维常向量 使成立。20第3章 线性系统的可控性和可观测性 （由凯莱哈密尔顿定理）21第3章 线性系统的可控性和可观测性 因为已知0 ，若上式成立，则格拉姆矩阵W(0, t1)为奇异，即系统为不完全可控，
11、和已知条件相矛盾，所 以反设不成立。于是有rankS=n ，必要性得证。 22第3章 线性系统的可控性和可观测性 例3-6：已知判断其能控性。解：系统阶次，确定出可控判别阵，所以系统为完全可控。 23第3章 线性系统的可控性和可观测性 例3-7：判断下列系统的可控性解：矩阵S的第二行与第三行线性相关，故rankS =23，系统不可控。24第3章 线性系统的可控性和可观测性 补充：可控性判别矩阵 （）：线性定常连续系统的状态方程其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为(nn) 和(np)常阵。该线性定常连续系统完全可控的充要条件是：其中： 注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入
12、系统，可减少不必要的计算。25第3章 线性系统的可控性和可观测性 例3-8：用可控性判别矩阵 判别例3-7所示系统 的可控性。 解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，故 ，系统不可控。26第3章 线性系统的可控性和可观测性 3 3PBHPBH秩判据（秩判据（）线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值 ， 均成立，或等价地表示为注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不 太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。27第3章 线性系统的可控性和可观测性 证明： ，为多项式矩阵， 且对复数域上除i以外的所有s都有det(
13、sI-A)0，即 ranksI-A=n，进而有ranksI-A B=n，所以只要证明 即可。必要性：系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。反设对某个i 有rankiI A B n，则意味着 iIA B为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量，使成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：28第3章 线性系统的可控性和可观测性 进而可得:于是有因已知0，所以欲使上式成立，必有这意味着系统不完全可控，显然与已知条件相矛盾。 因此，反设不成立，即rankiI A B=n成立。充分性：已知式rankiI A B=n成立，欲证系统完全可控。采用反证法：利用和上述相反的思路，即可证得充分性。29第3章 线性
14、系统的可控性和可观测性 例3-9：已知线性定常系统状态方程为判断系统的可控性。解：根据状态方程可写出30第3章 线性系统的可控性和可观测性 特征方程： 解得A的特征值为： 1）当 时，有 31第3章 线性系统的可控性和可观测性 2）当 时，有 3）当 时，有 所以系统是完全可控的。32第3章 线性系统的可控性和可观测性 4 4PBHPBH特征向量判据特征向量判据线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i，使同时满足的特征向量 。注：一般的说，PHB特征向量判据主要用于理论 分析中，特别是线性系统的复频域分析中。33第3章 线性系统的可控性和可观测性 证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在一个向 量0，使式
