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1、引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位12 32种放法1种放法种放法.共有一、全排列及其逆序数第二节第二节 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义( (I) I) 问题定义把 个不同的元素排成一列，叫做这 个 元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 表示.由引例同理在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如 排列32514 中， 定义我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排
2、列的 逆序数.例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.方法2例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;3 2 5
3、 1 4于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.解此排列为偶排列.解当 时为偶排列；当 时为奇排列.解当 为偶数时，排列为偶排列 ，当 为奇数时，排列为奇排列.二、对换定义在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例如定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性证明设排列为对换 与除 外，其它元素的逆序数不改变.当 时，的逆序数不变;经对换后 的逆序数增加1 ,
4、经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当 时，现来对换 与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.2 排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.1 个不同的元素的所有排列种数为小结4 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性思考题思考题分别用两种方法求排列16352487的逆序数.思考题解答解用方法11 6 3 5 2 4 8 7 用方法2由前向后求每个数的逆序数.思考题证明 在全部 阶排列中 ,奇偶排列各占 一半. 思考题解答证 设在全部 阶排列中有 个奇排列, 个偶 排列,现来证 . 将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以若将 个偶排列的前两个数对换,则这 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 故必有
