HFSS高级培训班教程

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1、Ansoft高级培训班Ansoft高级培训班教材Ansoft HFSS的有限元理论基 础谢拥军 编著西安电子科技大学 Ansoft培训中心Ansoft高级培训班第一章 概述 第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析 21 电磁场边值问题及其变分原理 22 有限元方法的原理从一维简单例子来看其建模过程 23 三维时谐场有限元问题 24 有限元方程组的求解 第三章 电磁内问题和散射问题的有限元分析方法 31 电磁内问题 32 电磁散射问题Ansoft高级培训班第一章概 述Ansoft HFSS软件是应用有限元方法的原理来编制 的，深入的了解有限元方法的理论基础，及其在电磁场与 微波技术领域的应用原

2、理，对于我们灵活、准确地使用 Ansoft HFSS软件来解决实际工程问题能够提供帮助。这一部分教材的内容就是在结合Ansoft HFSS软件中 涉及到的有限元技术，力争在最小的篇幅和最短的时间里 为学员建立理论结合实际的有限元方法的基本概念。 Ansoft高级培训班第二章 有限元的基本理论及三维有限 元分析有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技 术，大约有40年的历史。他首先在本世纪40年代被提出 ，在50年用于飞机的设计。在六七十年代被引进到电磁 场问题的求解中。Ansoft高级培训班21 电磁场边值问题及其变分原 理电磁场的边值问题和很多的物理系统中的数学模型 中的边值问题一样，都

3、可以用区域内的控制微分方程 （电磁场问题中可以是泊松方程、标量波动方程和矢量 波动方程等）和包围区域的边界上的边界条件（可以 是第一类的Dirichlet条件和第二类的Neumann条件，或 者是阻抗和辐射边界条件等）来定义。微分方程可表示 为：（2.1）式中， 是微分算符， 是激励函数，是未知量。Ansoft高级培训班对于电磁场边值问题，只有少数情况可以得到解析解。很多的 时候我们采用基于变分原理的数值方法去求其近似解 ，比 如伽辽金方法。在伽辽金方法中，我们首先定义非零的残数：（2.2)的最佳近似应能满足：（2.3)Ansoft高级培训班这里 表示残数加权积分（也可称为误差泛函）， 是所选

4、择的加 权函数。进一步地，我们可以将近似解 展开为：(2.4) 式中， 是定义在区域内的展开函数， 是待定的展开系数。并 且我们将加权函数选为：（2.5）Ansoft高级培训班这时，式（2.3）变为：（2.6）这样问题的求解就转化为能够使上式最小化的展开系数 的线 性问题的求解，将（2.6）式写为矩阵形式：（2.7）的元素为：（2.8）的元素为：（2.9）Ansoft高级培训班22 有限元方法的原理从一维 的例子来看其建模的过程从上一小节的内容我们可以看到电磁场边值问题 变分解法的这样的两个特点：（1）变分问题已经将原来电磁场边值问题的严格求解 变为求解在泛函意思下的弱解，这个解可以和原来的

5、解式不一样的。（2）在电磁场边值问题的变分方法中，展开函数（也 可成为试探函数）是由定义在全域上的一组基函数组 成，这种组合必须能够表示真实解，也必须满足适当 的边界条件，这对于二维、三维问题是非常困难的。 Ansoft高级培训班很自然的，人们认为如果采用组成全域的子域上的一组基 函数能够提高近似解对于真实解的逼近精度。这就是有限元方 法。下面我们通过一个简单的一维例子来看看有限元方法的建 模过程和其方法的特点。考虑一个均匀充填介电常数为的平板电容器，如图2.1所示 :Ansoft高级培训班如果我们假设电场只有x方向的分量，问题就可以简化为一 维问题。问题的支配方程为： （2.10）其边界条件

6、为：（2.11）利用（2.10）式与权函数构成内积，仿照（2.3）式的方法 我们可以给出这里的误差泛函：（2.12）Ansoft高级培训班如图2.2所示，我们可以将一维区域离散化为N段（单元 ），每一小段又有编号为“1”和“2”的两个端点（结点），也 称为“本地”序号，当然，与单元一样每个结点还有相应的全 域序号。 Ansoft高级培训班如果我们假设在单元内部电位函数按照线性规律变化，也 就是对于单元内部的函数进行一阶插值：(2.13） 特别的，在两个结点 和 处我们令其值分别为 和 ，则（ 2.13）式可以重新写为（实际上和就成为了这一子域上的待求 的系数）：（2.14）其中： ， ， ，

7、，Ansoft高级培训班那么这时候在离散化的意义下，泛函（2.12）式可以 写为：（2.15） 其中，k是结点的全域序号，K是所有结点的总数， 是第k 个结点的子域。由于结点和单元的关系，我们可以在单元 内选取 （i1，2）做为权函数，在利用一些矢量运算恒 等式，我们可以得到： （2.16）式中，n为单元的序号，N为总的单元数。Ansoft高级培训班注意到在离散化子域上有：（2.17）（2.18）实际问题中，应该是域内无源， 所以为零。则在每个 单元内（2.16）式的左边可以写为线性表达式：（2.19）Ansoft高级培训班（2.19） 具体的我们可以用图2.1所示的例子来进行数值实现。 在图

8、2.1的离散化情况下我们有3个未知数，即对应结点全 域序号的 ， 和 （而其中的 和 又有边界条件给定） 。首先将（2.19）式对应单元1中的线性表达式的值带入到 求解全部3个未知数的全域矩阵中：（2.20） Ansoft高级培训班再将（2.19）式对应单元2中的线性表达式的值带入到 求解全部 3个未知数的全域矩阵中，构成全域矩阵方程：（2.21）Ansoft高级培训班再在（2.21）式中加入边界条件 和 ，则有最 终的矩阵方程：（2.22）很方便的可以解出 。Ansoft高级培训班从这个很简单的例子我们可以看出有限元方法的几个特点：（1）通过离散化和建立误差泛函，原来的电磁场边值问题 变为求

9、解矩阵方程，这是原来问题的弱解。 （2）最终矩阵方程的维数与结点的总数相同，未知数是结点上的数值解，单元内的数值是依靠结点处数值解的插值（这里是线性插值）。（3）最终矩阵的构成是由子域上的小线性系统按照其全域序阵，其计算机的存储要求并不大。号来在相应位置 上填充的，所以最终矩阵是稀疏矩阵，其计算机的存储要求并不大。Ansoft高级培训班总结来看，有限元方法的建模过程可以分为以下几个步骤：（1）区域离散。在任何有限元分析中，区域离散是第一步 ，或许也是最重要的一步，因为区域离散的方式将影响计算 机内存的需求、计算时间和数值结果的精确度。在我们前面 的一维例子里面，我们选取短直线段为单元，二维可以

10、选择 矩形或者三角形，三维问题可以选择四面体、三棱柱或矩形 块。Ansoft HFSS选用的四面体作为基本单元，在下一小节 我们将着重加以介绍。Ansoft高级培训班（2）插值函数的选择。在每一个离散单元的结点上的值是我 们要求的未知量，在其内部的其它点上的值是依靠结点值对其 进行插值。我们在以上的一维例子中选择了线性插值，很多复 杂的问题中如果选用高阶多项式插值精度应该更高，但是公式 也更复杂。Ansoft HFSS软件中有两种插值方式可供选择，我 们将在下节中的介绍。Ansoft高级培训班（3）方程组的建立。对Maxwell方程利用变分方法建立误差 泛函，由于问题已经离散化为很多个子域的组

11、合，我们可以 首先在每个单元内建立泛函对应的小的线性表达式，其次， 将其填充到全域矩阵中的相应位置，最后应用边界条件来得 到矩阵方程的最终形式。 （4）方程组的求解。方程组的求解是有限元分析的最后一步 。最终的方程组是下列两种形式之一：（2.23）或者 （2.24）Ansoft高级培训班方程（2.23）是确定型的，它是从非齐次微分方程或非齐次 边界条件或从它们两者兼有的问题中导出的。在电磁学中， 确定性方程组通常与散射、辐射以及其它存在源或激励的确 定性问题有关。而方程（2.24）是本征值型的，它是从齐次 微分方程和齐次边界条件导出的。在电磁学中，本征值方程 组通常与诸如波导中波传输和腔体中的

12、谐振等无源问题有关 。在这种情形下，已知向量 为零，矩阵 可以写成 的形式，这里表示未知的本征值。这两种方程组 的解法是不同的，我们会在2.4节中具体介绍。Ansoft高级培训班23 三维时谐场有限 元问题在上一节中，我们用一个静电问题的例子介绍了有限元 的建模过程。这是一个很简单的一维例子，能够是我们在 介绍中将注意力最大限度的集中到有限元方法本身的介绍 ，从而使读者很容易掌握有限元方法的基本特点。但是， 实际上所有的物理问题都是三维的，Ansoft HFSS软件也 是以三维有限元方法为基础的，本小节将通过以下几个方 面对其着力加以介绍。Ansoft高级培训班231 三维支配方程广义的来说，

13、三维麦克思韦方程组是三维电磁场问题的三 维支配方程，但是，一般情况下为了方便求解和建模，大多选 取由麦克思韦方程组的前两个旋度方程导出的电场强度满足的 矢量亥姆赫兹方程作为支配方程（注意：麦克思韦方程组中的 后两个散度方程并没有被考虑）。比如，Ansoft HFSS软件 的支配方程为：（2.25） 式中： 是时谐场对应的相量， （ 在abc3d模块中）。 是自由空间波数， 是复的相对导磁率 ， 是复的相对介电常数（考虑了介质的损耗）。 Ansoft高级培训班232 三维变分公 式根据我们上一节介绍的变分原理，上式的泛函可 以写为：（2.26）特别要指出的是，这只是无源区的域内支配方程 对应的泛

14、函，还没有强加边界条件和源项。Ansoft高级培训班233 三维离散单元从上一节关于有限元建模过程的介绍我们 可以看到，有限元方法的一个关键步骤是建立 离散单元的小矩阵，只要我们得到了离散单元 的小矩阵，然后将其填充到全域矩阵中。因此 三维有限元与一维和二维有限元的重要区别也 就在如何利用（2.3）式泛函建立三维离散单 元的小矩阵。对于三维问题，矩形块、四面体 和六面体等都可以被选用做基本的离散单元， 但是，不同离散单元对于有限元运算的精度、 速度和内存需求都有不同。Ansoft HFSS采 用四面体作为基本离散单元，并选用上一世纪 80年代以后才被应用于电磁学中的棱边元作 为矢量基函数。 图

15、2.3 Ansoft HFSS软 件中的四面体棱边元 Ansoft高级培训班下面我们首先介绍按照结点值定义的四面体棱边元 ，然后 分析其可能带来的伪解、界面不连续和奇异点等问题，最后介 绍Ansoft HFSS选用的三维棱边元，从而使读者对其基本定义 和选用其的优越性得以充分了解。假设图2.4所示的四面体内的未知函数 能够近似为：（2.27）图2.4 四面体单元Ansoft高级培训班如果用四面体的四个顶点 （即四个结点）处的值（ i=1,4）来表示，我们可以得到：（2.28） 式中插值函数 为（2.29）（单元四面体体积）（2.30） Ansoft高级培训班而 有下列等式获得：（2.31）（2.32） Ansoft高级培训班（2.33）（2.34） Ansoft高级培训班这就是传统的有限元四面体单元的线性系统，可以看到 类似于上一节中一维问题的线段端点作为结点未知量，这 里四面体的顶点作为结点。然而，按照这一思路研究的有 限元方法在解决时谐电磁场问题时出现了伪解、界面不连 续和奇异点等问题，一直困扰着很多的研究者，我们具体 对其介绍如下。Ansoft高级培训班 234 时谐电磁场有限