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1、1(2016天津，12，中)如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点E，BE2AE2，BDED，则线段 CE 的长为_1 【解析】 设圆的圆心为 O，如图，连接 OD，AC，可得BODBDE，BD2BOBE3，BDDE.3AECDEB，即，AE DECE BE13EC 2EC.2 33【答案】 2 332(2014广东，15，易)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB2AE，AC与 DE 交于点 F，则_. CDF的面积 AEF的面积2 【解析】 EB2AE， .AE AB1 3又ABDC，AAEFCDF，且 .AE DC1 39. CDF的面积 AEF的面
2、积【答案】 93(2015湖北，15，中)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC3PB，则_AB AC3. 【解析】 设 PB1，则 BC3.PA2PBPC，PA2.PBAPAC， .AB ACPA PC2 41 2【答案】 1 24(2015广东，15，中)如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB4，EC 是圆 O 的切线，切点为 C，BC1.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则OD_.4 【解析】 由于 O 为 AB 的中点且 BCOD，OPBC 且 OP BC ，AC1 21 2，AB2BC215CP AC.1 2152又
3、CD 是圆 O 的切线，ACDABC.又DPCACB90，RtABCRtDCP，PD ACCP BCPD，CPAC BC15215115 2ODOPPD 8.1 2152【答案】 85(2013陕西，15B，易)如图，弦 AB 与 CD 相交于O 内一点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P，已知 PD2DA2，则 PE_5 【解析】 PEBC，PEDBCE.又BCEBAD，PEDBAD.在PDE 和PEA 中，PP， PEDEAP，)PDEPEA，PD PEPE PAPE2PDPA236，PE.6【答案】 66(2012课标全国，22，10 分，中)如图，D，E 分别为
4、ABC 边 AB，AC 的中点，直线DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点若 CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.6证明：(1)如图，连接 AF，因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DEBC.又 CFAB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CFBDAD.而 CFAD，所以四边形ADCF 是平行四边形，故 CDAF.因为 CFAB，所以 BCAF，故 CDBC.(2)因为 FGBC，故 GBCF.由(1)可知 BDCF，所以 GBBD，BGDBDG.由 BCCD 知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，故BCDGBD.在高考中，主要考查证明两三角形相似，利用
5、三角形相似的性质、直角三角形的射影定理证明两个三角形相似，通常与圆结合考查，属中档题在复习时，牢记有关定理、性质，掌握三角形相似的判定方法是解答该问题的关键1 (2012辽宁，22，10 分)如图，O 和O相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连接 DB 并延长交O 于点 E，证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE. 【证明】 (1)由 AC 与O相切于 A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB，从而，AC ADAB BD即 ACBDADAB.(2)由 AD 与O 相切于 A，得AEDBAD，又ADEBDA，所以EADABD.从而，即 AEB
6、DADAB.AE ABAD BD结合(1)的结论，可得 ACAE.与三角形相似有关的问题，首先应掌握判断三角形相似的有关定理(1)由弦切角定理得出CABADB 及ACBDAB，得出ACBDAB，从而使问题得证；(2)由弦切角定理得出AEDBAD，进而证明EADABD，再利用相似三角形的性质并结合(1)得证(2015江苏，21A，10 分)如图，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圆O 的弦 AE 交 BC 于点 D.求证：ABDAEB.证明：因为 ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE.又BAE 为公共角，所以ABDAEB.,相似三角形判定定理的选择(1)已知有一组角相等时，可选择
7、判定定理 1 与判定定理 2；(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理 2 与判定定理 3；(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定利用截割定理及射影定理求值或证明在新课标中有所体现，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，难度为中低档在复习中准确记忆平行线的截割定理及射影定理，充分利用中点来作辅助线，有效利用平行线分线段成比例定理2(2016河北邯郸模拟，22，10 分)如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BD 与AC 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AB，CD 于 E，F，且
8、 EFBC，若AD12，BC20，求 EF.【解析】 ADBC， ， .OB ODBC AD20 125 3OBBD5 8OEAD， .OE ADOB BD5 8OE AD 12，5 85 815 2同理可求得 OF BC 20，3 83 815 2EFOEOF15.解题时充分利用平行线分线段成比例定理，求出 ，并以此为桥梁，分别在三角形中求OB BD5 8出 OE 和 OF 的值，最后求 EF 的值(2016云南昆明质检，22，10 分)如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，E 在CA 上且 AE2CE，AD，BE 交于 F，求，.AF FDBF EF解：如图，取 BE 的中点 G，连接
9、 DG，在BCE 中，D，G 分别为 BC，BE 的中点，DGCE，且 DG CE.1 2又AE2CE，DGCE，4.AF FDEF FGAE DG2CE 1 2CE又 BGGE，2 1 .,BF EFBGGFEFGEGFEF2GFEFEF1 43 2利用比例关系求值或证明的方法在求值时，往往需要利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时，往往会通过三角形相似或平行线分线段成比例得到比例关系，进而求证同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中的应用1(2016河南南阳二模，22，10 分)如图所示，在ABC 中，ABAC，过点 A 的直线与其外接圆交于点 P，交 B
10、C 的延长线于点 D.(1)求证：；PC ACPD BD(2)若 AC3，求 APAD 的值1考向 1解：(1)证明：因为CPDABC，PDCPDC，所以DPCDBA，所以.PCABPD BD又 ABAC，所以.PC ACPD BD(2)因为ABCAPC180，ACBACD180，ABCACB，所以ACDAPC.又CAPDAC，所以APCACD，所以.AP ACAC AD所以 APADAC29.2(2015河南开封一模，22，10 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BECD，垂足为 E，连接 AE，F 为 AE 上一点，且BFEC.(1)求证：ABFEAD；(2)若BAE30
11、，AD3，求 BF 的长2考向 1解：(1)证明：ABCD，BAFAED.又BFEC，BFEBFACADE，BFAADE.ABFEAD.(2)BAE30，AEB60，sin 60.AB AE32又ABFEAD，BF ADAB AEBFAD.AB AE3 323(2015辽宁鞍山二模，22，10 分)如图，O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，点 D是劣弧的中点，连接 AD 并延长，与过 C 点的切线交于 P，OD 与 BC 相交于点 E.BC(1)求证：OE AC；1 2(2)求证：.PD PABD2 AC23考向 1证明：(1)因为 AB 是O 的直径，所以ACB90，即 ACBC.因为
12、 D 是的中点，由垂径定理得 ODBC，因此 ODAC.BC又因为点 O 为 AB 的中点，所以点 E 为 BC 的中点，所以 OE AC.1 2(2)如图，连接 CD，BD.因为 PC 是O 的切线，所以PCDPAC，又P 是公共角，所以PCDPAC，得PC PA，得.PD PCCD ACPD PAPCPD PAPCCD2 AC2又 D 是的中点，且 ODBC，所以 CDBD.因此.BCPD PABD2 AC24(2016河南南阳一模，22，10 分)已知在ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.(1)求证：AB
13、CFCD；(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长4考向 1，2解：(1)证明：因为 DEBC，D 是 BC 的中点，所以 EBEC，所以B1.又因为 ADAC，所以2ACB.所以ABCFCD.(2)如图，过点 A 作 AMBC，垂足为点 M.因为ABCFCD，BC2CD，所以4.S ABC S FCD(BCCD)2又因为 SFCD5，所以 SABC20.因为 SABC BCAM，BC10，所以 20 10AM，所以 AM4.1 21 2因为 DEAM，所以.DE AMBD BM因为 DM DC ，1 25 2BMBDDM，BD BC5，1 2所以，解得 DE .DE 455528 35
14、(2016河北唐山一模，22，10 分)如图，在梯形 ABCD 中，点 E，F分别在 AB，CD 上，EFAD，假设 EF 做上下平行移动(1)若 ，求证：3EFBC2AD；AE EB1 2(2)请你探究一般结论，即若 ，那么你可以得到什么结论？AE EBm n5考向 1，2解：如图，过点 A 作 AHCD 分别交 EF，BC 于点 G，H.(1)证明：因为 ，AE EB1 2所以 .AE AB1 3又 EGBH，所以 ，EG BHAE AB1 3即 3EGBH.又 EGGFEGADEF，从而 EF (BCHC)AD，1 3所以 EF BC AD，1 32 3即 3EFBC2AD.(2)因为 ，所以.AEEBm nAE ABmnm又 EGBH，所以，EG BHAE AB即 EGBH.mmn所以 EFEGGFEGAD(BCAD)AD，所以 EFBCAD，即mmnmmnnmn(mn)EFmBCnAD.1(2015重庆，14，易)如图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线
