《【全程复习方略】（福建专用）2014版高考数学分类题库考点41直线与圆锥曲线的位置关系（2011年）理新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】（福建专用）2014版高考数学分类题库考点41直线与圆锥曲线的位置关系（2011年）理新人教版（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -考点考点 4141 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题一、选择题1.（2011浙江高考理科8）已知椭圆（0）与双曲线有公共22122:1xyCabab2 2 2:14yCx 的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点，若 恰好将线段三等分，2C1C,A B1CAB则（ ） （A） （B）13 （C） （D）2213 2a 2a21 2b 2b 【精讲精析】C2的一条渐近线为,设该渐近线与椭圆（0）的交点分别为2yx22122:1xyCabab,则,即,又由在上,1122( ,2 ),(,2)C xxD xx2 222 1143aOCxx2 2 145
2、ax11( ,2 )C xx22122:1xyCab所以有,221414545a b又由椭圆（0）与双曲线有公共的焦点可得,22122:1xyCabab2 2 2:14yCx 225ab由解得,故选 C.21 2b 211 2a 二、解答题二、解答题2.（2011福建卷理科17）已知直线：y=x+m，mR.l（I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；l（）若直线关于 x 轴对称的直线为，问直线与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由.lll【思路点拨】 （I）由题意画出图形，结合图形求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；（）由 的方程求得的
3、方程，将的方程与抛物线 C 的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判lll别式的正负，来判定两者能否相切.【精讲精析】方法一：（I）依题意，点的坐标为.P(0,)m因为所以,MPl1.0 210m 解得，即点坐标为.2m P(0,2)从而圆的半径22|(20)(02)2 2.rMP故所求圆的方程为.22(2)8xy- 2 -()因为直线 的方程为，所以直线的方程为.lyxmlyxm 由得.2, 4yxm xy 2440xxm2416(14)4.mm 当，即时，直线与抛物线 C 相切；1m 0 l当，即时，直线与抛物线 C 不相切.1m 0 l综上，当时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线
4、C 不相切.1m lC1m l方法二：（I）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为.r222(2)xyr依题意，所求圆与直线相切于点，则:0l xym(0,)Pm解得224, |20|,2mr mr2,2 2,mr所以所求圆的方程为.22(2)8xy（II）同方法一.3. （2011福建卷文科18）如图，直线l：y=x+b 与抛物线 C：x2=4y 相切于点 A.（1）求实数 b 的值；（2）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.【思路点拨】 （1）直线与抛物线方程联立，然后根据相切即判别式，解之得b的值；0（2）求出 A 点坐标，找出圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【精讲精
5、析】(1)由得. 24 yxb xy， ，2440xxb( )因为直线 与抛物线 C 相切，所以，l2( 4)4 ( 4 )0b 解得.1b - 3 -(2)由（1）可知，故方程即为，1b ( )2440xx解得.将其代入，得2x 24xy1.y 故点 A（2,1）.因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径等于圆心 A 到抛物线的准线的距离，即，r1y |1 ( 1)| 2r 所以圆 A 的方程为22(2)(1)4.xy4.（2011江苏高考18）如图，在平面直角坐标系中，M，N 分别是椭圆的顶点，xOy12422 yx过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中 P 在第一象限，
6、过P作 x 轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线 PA 的斜率为k.（1）当直线PA平分线段 MN 时，求k的值；（2）当k=2 时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k0，求证：PAPB. 【思路点拨】本题考查的是直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键是正确的联立方程结合已知进行转化求解.【精讲精析】 （1）由题意知，故,所以线段 MN 的中点的坐标为2, 2ba)2, 0(),0 , 2(NM，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以)22, 1(.22 122 k（2）直线 PA 的方程为，代入椭圆方程得，解
7、得，因此xy2124 422 xx 32x- 4 -,于是,直线 AC 的斜率为，所以直线 AB 的方程为，)34,32(),34,32(AP)0 ,32(C132 32340 032 yx因此.322232 34 32 d（3）解法一：将直线 PA 的方程代入，解得，记，则kxy 12422 yx2212kx 2212k，于是故直线 AB 的斜率为，直线 AB 的方程为，),(),(kAkP),0 ,(C20kk )(2xky代入椭圆方程得，解得或，因此0)23(2)2(22222kxkxk222)23( kkxx，于是直线 PB 的斜率为，)2,2)23(2322kk kkB k kkkk
8、kk12)23(222231 因此，所以.11kkPBPA 解法二：设，则，.设直线 PB，AB 的斜2211,),(yxByxP2121, 0, 0xxxx0 ,),(111xCyxA率分别为.因为 C 在直线 AB 上，所以 ，从而 21,kk11 2 1110( y )ykkx( x )2x2 1212112121212 211xxyy xxyykkkk，044)2()2(1222 12 22 12 22 12 12 22 2 2 12 22 12 2xxxxyxyxxxyy因此，所以.11kkPBPA 5.（2011北京高考理科T19）已知椭圆，过点作圆的切线 交椭圆2 2:14xGy
9、( ,0)m221xyl于 A,B 两点.（）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（）将|AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值.【思路点拨】 （）根据标准方程可求出焦点坐标及离心率；（）先讨论切线 斜率不存在的两种情况，l- 5 -当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.【精讲精析】 （）由已知得，所以，所以椭圆 G 的焦点坐标为2,1ab223cab，离心率为.(3,0),( 3,0)3 2cea（）由题意知，.| 1m 当 m=1 时，切线 的方程为 x=1，点 A,B 的坐标分别为，此时；l33(1,),(1,)22|3A
10、B 当 m=-1 时，同理可得；|3AB 当|m|1 时，设切线 的方程为.l()yk xm由得.2 2()14yk xmxy，22222(14)8440kxk mxk m设 A,B 两点的坐标分别为.1122( ,),(,)x yxy又由 与圆相切，得，即.l221xy 2|1 1kmk 2221m kk所以2222 21212112|()()(1)()4ABxxyykxxx x.4222 2 222644(44)(1)(14)14k mk mkkk24 3 | 3m m由于当时，1m |3AB ，24 3 |4 3|233|mABmmm所以当且仅当时，.所以|AB|的最大值为 2.3m |
11、 2AB 6.（2011北京高考文科T19）已知椭圆的离心率为，右焦点为2222:1(0)xyGabab6 3，斜率为 1 的直线 与椭圆 G 交于 A,B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为.(2 2,0)l( 3,2)P （）求椭圆 G 的方程；（）求的面积. PAB- 6 -【思路点拨】 （）利用 a,b,c 的关系及离心率求出 a,b，代入标准方程；（）联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入.【精讲精析】 （）由已知得，解得.62 2,3cca2 3a 又，所以椭圆 G 的方程为.2224bac22 1124xy（II）设直线 的方程为，由得，.ly
12、xm22 1124yxmxy，22463120xmxm设 A,B 的坐标分别为，AB 中点为，则1122( ,),(,)x yxy12()xx00(,)E xy.12 0003,244xxmmxyxm 因为 AB 是等腰的底边，所以.所以 PE 的斜率，解得.PABPEAB241334mkm 2m 此时方程为，解得，所以.所以.24120xx123,0xx 121,2yy | 3 2AB 此时，点到直线 AB：的距离，( 3,2)P 20xy| 322|3 2 22d 所以的面积.PAB19|22SAB d7.（2011江西高考理科20）是双曲线 E：上一点，M，N 分别是000(,)()P
13、xyxa 22221(0,0)xyabab双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为.1 5（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足，求的值.OCOAOB uuu ruuu ruuu r【思路点拨】 （1）表示出直线 PM，PN 的斜率，根据直线 PM，PN 的斜率之积为，得，进而求1 522a5b得离心率.（2）首先根据直线与双曲线的位置关系结合，将 C 点坐标用 A,B 两点坐标表示，再将 COCOAOB uuu ruuu ruuu r点坐标代入双曲线方程，即得的关系式，从而求得
14、的值.【精讲精析】- 7 -2222 00 00022222222220000222 22 112212212xyxy,y )(xa)11ababyy1c30,a5b ,cab6b ,e.xa xa5a5x5y5b ,(2)4x10cx35b0,A(x ,y ),Bx ,y )yxc,5cxx,2OC35bx x4 uur(1)点P(x在双曲线上，有，由题意又有可得则联立得设（，则设312 33 312222222 331212222222 1122121222222 11221122xxx(x ,y ),OCOAOB,yyyCx5y5b ,xx )5( yy )5b(x5y )(x5y )2 (x x5y y )5bA(x ,y ),Bx ,y )x5y =5bx5y uuuu ruuu ruuu r，即，又为双曲线上一点，即有（，化简得：.又（在双曲线上，所以，222 11221212121212122=5b .A(x ,y ),Bx ,y )x x5y y =x x -5 xc)(xc)4x x5c(xx )
