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1、1第三节第三节 空间点、线、面之间的空间点、线、面之间的位置关系位置关系全盘巩固 1若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c( )A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线 D平行、相交或异面都有可能 解析：选 D 当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能 相交 2以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3解析：选 B 中，假设存在三点共
2、线，则这四点必共面，与题设矛盾，故正确； 中，若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E有可能不共面，故错误； 中，如图所示正方体的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c异面，故错误； 中，空间四边形的四条线段不共面，故错误，故选 B. 3l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 解析：选 B A 选项，l1l2，l2l3，则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面； B 选项正确；C 选项，l1l2l3，则l1、l2、l3既可能共
3、面，也可能异面；D 选项，如长 方体共顶点的三条棱为l1、l2、l3，但这三条直线不共面 4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( ) A3 B4 C5 D6 解析：选 C 由条件知，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有 AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有 5 条 5已知直线a和平面，l，a，a，且a在、内的射影分 别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析：选 D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行
4、或异面26(2014杭州模拟)如图，平面与平面交于直线l，A，C是平面内不同的 两点，B，D是平面内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段 AB，CD的中点下列判断正确的是( )A若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交 B若AB，CD是异面直线，则直线MN可能与l平行 C若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异 面直线 DM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交 解析：选 D A 错误，若AB与CD相交，则AB，CD共面，当ACl时，则AC平面 ，经过AC的平面ABCD与平面的交线为BD，
5、则ACBD，又ACl，故BDl；B 错误， 采用反证法，假定直线MNl，连接AD，取AD的中点G，连接MG，NG，由于MGBD，又 MNl，由面面平行的推论可证得平面MGN平面，故l平面，易推理AC平面 ，因为直线AC与l共面且平行同一平面MGN，故ACl，又MNl，故ACMN，此时易 证A，B，C，D四点共面，与AB与CD异面不符合，故MN与直线l不可能平行；C 错误， 存在，如经过点N的直线可与AB与CD相交，此时AB，CD可以为异面直线；D 正确，若 M，N两点重合，即AC与BD交于一点且相互平分，故四边形ABCD为平行四边形，即 ACBD，易证得直线AC平面，又直线l，故AC与直线l必
6、无公共点，即两直线不 可能相交，故选 D. 7对于空间三条直线，有下列四个条件： 三条直线两两相交且不共点； 三条直线两两平行； 三条直线共点； 有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有_ 解析：易知中的三条直线一定共面；三棱柱三侧棱两两平行，但不共面，故错； 三棱锥三侧棱交于一点，但不共面，故错；中两条直线平行可确定一个平面，第三条 直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面 答案： 8已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影可能是： 两条平行直线； 两条互相垂直的直线； 同一条直线； 一条直线及其外一点 在
7、上面结论中，正确的是_(写出所有正确结论的序号) 解析：只有当ab时，a，b在上的射影才可能是同一条直线，故错，其余都有 可能 答案： 9设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；3若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线； 若a，b与c成等角，则ab. 其中正确的命题是_(只填序号) 解析：由公理 4 知正确； 当ab，bc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确； 当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确； a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”
8、，故不正确； 当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确 答案： 10已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点， ACBDP，A1C1EFQ.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线 证明：(1)如图所示 因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点， 所以EF是D1B1C1的中位线， 所以EFB1D1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD， 所以EFBD. 所以EF，BD确定一个平面， 即D、B、F、E四点共面 (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1A与CC1确
9、定的平面为，又设平面BDEF为. 因为QA1C1，所以Q. 又QEF，所以Q，则Q是与的公共点， 同理，P点也是与的公共点，所以PQ. 又A1CR，所以RA1C，R且R， 则RPQ，故P、Q、R三点共线 11已知长方体ABCD ABCD中，AB4，BC3，AA5，求异面直线DB 与AC所成角的余弦值解：法一：(平移法)如图，在长方体ABCD ABCD中，连接BD交AC于点E， 取DD的中点F，连接EF，AF，则EFDB，EF=DB,1 21 2 FEA是DB与AC所成的角，AE ，423225 2EF，252525 224AF ，32(52)2612在FEA中，cosFEA.EF2AE2AF2
10、 2EFAE7 250法二：(补形法)如图，在长方体的一旁补一个全等的长方体， 则BEAC,BE=AC. DBE(或其补角)是DB与AC所成的角， DB5，BE5，DE，289 在DBE中，cosDBE，7 250DB与AC所成角的余弦值为.7 250 12.如图所示，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面垂直，已知 BC2AD4，ABC60，BFAC.(1)求证：AC平面ABF； (2)求异面直线BE与AF所成的角； (3)求该几何体的表面积 解：(1)证明：因为平面ADEF平面ABCD，且交线为AD，AFAD，AF平面ADEF， 所以AF平面ABCD. 又AC平面ABCD，故AF
11、AC， 又BFAC，AFBFF，AF，BF平面ABF， 所以AC平面ABF. (2)因为ADEF为正方形，所以DEAF， 所以DE与BE所成的角即为异面直线BE与AF所成的角 连接BD，由(1)易知DEBD.在 RtBDE中，DE2，BD2，3所以 tanBED，BD DE3 所以BED60， 即异面直线BE与AF所成的角为 60. (3)由(1)知AF平面ABCD，所以AFAB， 所以ABBCcos 602，所以ABF的面积S1 |AF|AB|2.1 2 同理CDE的面积S22. 等腰梯形BCEF的上底长为 2，下底长为 4，两腰长均为 2，则它的高为，275所以其面积S3 (24)3.1
12、277 等腰梯形ABCD的上底长为 2，下底长为 4，两腰长均为 2，则它的高为，3所以其面积S4 (24)3.1 233 故该几何体的表面积 SS1S2S3S44338.37 冲击名校 1设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，22 则a的取值范围是( ) A(0, ) B(0, )23 C(1, ) D(1, )23 解析：选 A 如图所示，AB，CDa，设点E为AB的中点，则EDAB，ECAB，则ED2，同理EC.由构成三角形的条件知 0aEDEC，所以 0a.AD2AE2222222 2(2013江西高考)如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同
13、一平面上， 且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那 么mn( )A8 B9 C10 D11 解析：选 A 如图所示，CE平面ABPQ，CE平面A1B1P1Q1，CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m4； EF平面BPP1B1，且EF平面AQQ1A1， EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n4，故mn8. 高频滚动 1如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直 观图是下列各图中的( )6解析：选 D 根据正视图为直角三角形及直角三角形的形状，可排除 A、B；根据侧视 图的直角三角形形状，可排除 C；可验证 D 符合题意 2一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A. B. C20 D4020 340 3 解析：选 B 该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示故其体积为 (14)44.1 31 240 3
