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1、 1 课时作业课时作业( (五十三五十三) ) 1有 4 个命题： 若p pxa ayb b，则p p与a a、b b共面； 若p p与a a、b b共面，则p pxa ayb b； 若MP xMA yMB ，则P、M、A、B共面； 若P、M、A、B共面，则MP xMA yMB . 其中真命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 正确，中若a a，b b共线，p p与a a不共线，则p pxa ayb b就不成立正确中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP xMA yMB 不正确 2在平行六面体ABCDABCD中，设AC xAB 2yBC 3zCC ，xyz等于( )
2、A.116B.56 C.23 D.76 答案 A 解析 AC AB BC CC ， 故x1，y12，z1 3，从而xyz116. 3已知向量a a(8，12x，x)，b b(x,1,2)，其中x0.若a ab b，则x的值为( ) A8 B4 C2 D0 答案 B 解析 因x8,2,0 时都不满足a ab b. 而x4 时，a a(8,2,4)2(4,1,2)2b b，a ab b. 另解：a ab b存在0 使a ab b(8，x2，x)(x，2) 2 x8，x 2，x2 2，x4.选 B. 4已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则AB 12(BD BC )等于 ( )
3、A.AGB.CGC.BCD.12BC答案 A 解析 依题意有AB 12(BD BC )AB 122BG AG . 5若向量a a(1，2)，b b(2，1,2)，且 cosa a，b b89，则( ) A2 B2 C2 或2 55 D2 或2 55 答案 C 解析 由已知 cosa a，b ba ab b |a a|b b|，所以8 924 529，解得2 或2 55. 6已知四边形ABCD满足AB BC 0，BC CD 0，CD DA 0，DA AB 0，则该四边形为 ( ) A平行四边形 B梯形 C平面四边形 D空间四边形 答案 D 解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角， 但在平面四
4、边形中任一四边形的外角和都是 360，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形 7正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是 ( ) A90 B60 C30 D0 答案 D 3 解析 如图， 以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 设正方体的棱长为a， 则A1(a,0，a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，DA1 (a,0，a)， AC (a，a,0)， BD1 (a，a，a) EF是直线AC与A1D的公垂线， EF DA1 ，EF AC .设EF (x，y，z)， EF DA
5、1 (x，y，z)(a,0，a)axaz0. EF AC (x，y，z)(a，a,0)axay0. a0，xyz. EF (x，x，x)，BD1 axEF . BD1 EF ，即BD1EF. 8已知a ab bc c0，|a a|2，|b b|3，|c c| 19，则向量a a与b b之间的夹角a a，b b为 ( ) A30 B45 C60 D以上都不对 答案 C 解析 a ab bc c，a a2b b22a ab bc c2. 又|a a|2，|b b|3，|c c| 19， a ab b|a a|b b|cosa a，b b3. cosa a，b b12，a a，b b60. 9已知两
6、个非零向量a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是 ( ) A.a a |a a|b b |b b| Ba1b1a2b2a3b3 Ca1b1a2b2a3b30 4 D存在非零实数k，使a akb b 答案 D 解析 应选 D，首先排除 B，C 项表示a ab b，A 项表示与a a，b b分别平行的单位向量，但两向量方向相反也叫平行 10下列各组向量共面的是 ( ) Aa a(1,2,3)，b b(3,0,2)，c c(4,2,5) Ba a(1,0,0)，b b(0,1,0)，c c(0,0,1) Ca a(1,1,0)，b b(1,0,1)，c c(0,
7、1,1) Da a(1,1,1)，b b(1,1,0)，c c(1,0,1) 答案 A 解析 A 项：假设共面则c cxa ayb b， 则 x3y4，2x2，3x2y5 x1，y1.a a，b b，c c共面 B 项：用 A 项方法或直接建立空间直角坐标系很明显不共面 C 项：设c cxa ayb b， xy0，x1，y1，解集为空 D 项：设c cxa ayb b， xy1，xy0解集为. 11正方体不在同一表面上的两顶点为A(1,2，1)、B(3，2，3)，则正方体体积为 ( ) A8 B27 C64 D128 答案 C 解析 3a2(31)2(22)2(31)248， a4，Va364
8、. 12已知a a(cos，1，sin)，b b(sin，1，cos)，则向量a ab b与a ab b的夹角是 ( ) A0 B30 C60 D90 答案 D 解析 a ab b(cossin，2，cossin)， a ab b(cossin，0，sincos)， 5 cosa ab b，a ab b0. 13. (2010台湾入学试题)如图所示，正方体ABCDEFGH的棱长等于 2(即|AB |2)，K为正方形ABCD的中心，M、N分别为线段BF、EF的中点试问下列选项是正确的序号为_ (1)KM 12AB 12AD 12AE ； (2)KM AB 1； (3)KM 3； (4)KMN为一
9、直角三角形； (5)KMN的面积为 10. 答案 (1)(4) 解析 以EF，EH，EA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则F(2,0,0)，N(1,0,0)，B(2,0,2)，K(1,1,2)，M(2,0,1)， KM (1，1，1)，MN (1,0，1)， AB (2,0,0)(4)对，S6 2. 14已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，O是面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则|OP|的最小值为_ 答案 5 解析 以A为坐标原点，AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则O(1,1,0) 6 设P(x,2,2)(0x2) 则|OP|x222 x
10、25. 所以当x1，即P为C1D1中点时，|OP|取最小值 5. 15设向量a a(3,5，4)，b b(2,1,8)，计算 2a a3b,b,3a a2b b，a ab b以及a a与b b所成角的余弦值，并确定、的关系，使a ab b与z轴垂直 答案 2 解析 2a a3b b2(3,5，4)3(2,1,8)(12,13,16)， 3a a2b b3(3,5，4)2(2,1,8)(5,13，28)， a ab b(3,5，4)(2,1,8)32514821， |a a| 3252250， |b b| 22128269， cosa a，b ba ab b |a a|b b|21 50697
11、138 230. 由(a ab b)(0,0,1) (32，5，48)(0,0,1) 480 知， 只要，满足2即可使a ab b与z轴垂直 16已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1.求MN 、DC 的坐标 解析 PAADAB，且PA平面AC，ADAB， 可设DA e e1，AB e e2，AP e e3. 以e e1、e e2、e e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz， MN MA AP PN MA AP 12PCMA AP 12(PA AD DC ) 7 12e e2e e312(e e3e e1e e2)12e e112e e3， MN
12、 (12，0，1 2)，DC (0,1,0) 17 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中， 底面ABCD是边长为 1 的正方形，AA12， A1ABA1AD120. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)证明：AA1BD. 解析 (1)解 如图所示，设AB a a，AD b b，AA1 c c， 则|a a|b b|1，|c c|2. a ab b0，a ac cb bc c 21cos1201. AC1 AB BC CC1 a ab bc c， |AC1 |2(a ab bc c)2 a a2b b2c c22a ab b2a ac c2b bc
13、 c 1122222. |AC1 |2. 即AC1长为 2. (2)解 AC1 a ab bc c，A1D b bc c， AC1 A1D (a ab bc c)(b bc c) a ab ba ac cb b2b bc cb bc cc c2 112222. 又|A1D |2(b bc c)2b b2c c22b bc c1427， |A1D |7. 8 cosAC1 ，A1D AC1 A1D|AC1 |A1D |2 2 7 14 7. 异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为14 7. (3)证明 AA1 c c，BD b ba a， AA1 BD c c(b ba a) c cb bc ca a1(1)0. AA1 BD ，即AA1BD.
