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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 在立体几何中,“直线和平面所成的角“是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围：( 0o, 90o 范围： 0o, 90o 问题:异面直线所成的角、直线和平面所成 的角有什么共同的特征？结论:它们的共同特征都是将三维空间的角 转化为二维空间的角,即平面角。 拦洪坝水平面空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对
2、于两个平面平行 ，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论 上有进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将 三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我 们同样来研究平面与平面的角度问题. 两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？(1) 半平面的定义一、二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面半平面半平面(2) 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二
3、面角的面棱面面平卧式 ：直立式 ：llAB(3) 二面角的画法和记法：面1棱面2点1棱点2二面角 l 二面角AB二面角CAB DABCDAOlB(4) 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 如图， ，则AOB成为二面角 的平面角. 二面角的平面角必须满足：角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内9在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的 ，那么AOB的大小与点O在棱上的位置有关系 吗？=等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。） ABAB
4、二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无 关，只与二面角的张角大小有关。结论：二面角是用它的平面角来度量的，一 个二面角的平面角多大，就说这个二面角是 多少度的二面角。.二面角的取值范围一般规定为： 0o, 180o 二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度 二面角的两个面重合： 0o；4二面角的大小二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度 二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：180o；4二面角的大小二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度二面角的范
5、围： 0o, 180o 二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：180o；4二面角的大小 平面角是直角的二面角叫直二面角计算二面角的关键是作出二面角的平面角 ，是通过二面角的平面角大小来刻画二面角的 大小的。 作二面角的平面角的方法一般有: 定义法，三垂线法，垂面法 以及射影面积法求二面角的思路： “一作、二证、三算”（1）、定义法根据定义作出来（2）、垂面法作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到l5. 二面角的平面角的作法（3）、三垂线法（4）射影面积法寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二 面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）
6、二面角C-BD-C和C-BD-A.BACDABCDBACDABCD寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二 面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.寻找二面角的 平面角BACDABCDO寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二 面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.BACDABCDO寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二 面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.例1：已知
7、正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧 棱长为3，求（1）斜高与底面所成的角的大小 （2）二面角P-AB-C的大小A .O解：则AD l .sinADO= ADO=60. 即二面角 l 的大小为60 .在RtADO中， AO AD练1： 已知二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到l的距离为 4. 求二面角 l 的大小.lD过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，就是二面角 l 的平面角.back练 在锐二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所 成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是 _.45例2： 如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的
8、棱AB的中点，求 二面角A1MCA的正切值ABCDMA1B1C1D1NH思路分析 ：找基面 找基面的垂线 AA1 作平面角 作AHCM交CM的延长 线于H，连结A1H平面ABCD解：作AHCM交CM的延长线于H，连结A1HA1A平面AC，AH是A1H在平面AC内的射影，A1HCM， A1HA为二面角A1CMA的平面角设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在 直角AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = back变式： (2011南通模拟)如图942所示，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2 ，BC6.(1)求证：
9、BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的正切值图图942PABC思路分析 ：找基面找基面的垂线作平面角平面ABC取AB的中点M，连结PMM由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角N取AC的中点N，连结MN、PNMNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNACMNP就是二面角PACB的平面角PA = PB = PC，PAMPCM PMAM，PMCM， PM平面ABC连结CM，AM = BM = CM，4.已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角PACB的平面角的正切值.backCDHG600 300
10、练：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡 底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少? AB练习一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角 ，其作法主要有： (1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一 点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两 垂线所成的角为二面角的平面角 (2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的 交线所成的角是二面角的平面角 二、求二面角的思路是“一作、二证、三算”作业：1、 已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所成二面角的大小. 2、已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB AC ，BC2，求以BC为棱，以面
11、BCD与面 BCA为面的二面角的大小？3、在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为 D1C1的中点，求二面角EBDC的平面角的正切值3：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的平面角的正切值AA1BB1CC1DD1E思路分析 ：找基面 平面BCD 作基面的垂线 过E作EFCD于FF作平面角 作FGBD于G，连结EGG解：过E作EFCD于F，于是，EGF为二面角EBDC的平面角BC = 1，CD = 2，而EF = 1，在EFG中 ABCDA1B1C1D1是长方体， EF平面B
12、CD，且F为CD中点， 过F作FGBD于G，连结EG，则EGBDM练习如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？二、平面与平面垂直的判定证明：CDAB E在平面内过B点作直线BECD，则 ABE就是二面角-CD-的平面角，设=CD，AB在上，则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角-CD-是直二面角，.aback文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号语言 ：AB图形语言：该定理作用：“线面垂直面面垂直”应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.ABCPO证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC平面PAC平面PBC
13、例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC平面PBC练习例2： ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO平面ABCD ， E是PC的中点，求证:平面PACBDE. POABCDEBCDA2.如图所示：在RtABC中，ABC=900 ,P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？PABCPABC1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体SEFG中必有( ). (A)SGEFG所在平面 (B)SDEFG所在平面 (C)GFSEF所在平面 (D)GDSEF所在平面SG1G2G3EFDSG1G2G3EFDSEFGDSGEFG所在平面.故选A.n例3：如下图，在三棱锥SABC中，SA平 面ABC，平面SAB平面SBC.n（1）求证：ABBC；n（2）若设二面角nSBCA为45，SA=BC，n求二面角ASCB的大小.
