《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离学案新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离学案新人教b版选修2-1（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.2.53.2.5 距离距离( (选学选学) )1理解点到平面的距离的概念(重点)2能灵活运用向量方法求各种空间距离(难点、重点)3体会向量法在求空间距离中的作用基础初探教材整理 距离阅读教材 P112P113“例 2” ，完成下列问题1图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离2点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离3直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，到与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离4两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线(2)公垂线夹在平行平面
2、间的部分，叫做两个平面的公垂线段(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离5四种距离的关系如图 3235，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是_2图 3235【解析】 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，O，A1(1,0,1)，则，(1,0,1)(1 2，1 2，1)AO(1 2，1 2，1)DA1由题意知为平面ABC1D1的一个法向量，DA1所以O到平面ABC1D1的距离d|cos，|.AOAODA1|AODA1|DA1|1 2224【答案】 24质疑手记预
3、习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型两点间的距离如图 3236，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求MN的长3图 3236【精彩点拨】 利用| |求解MNANAM1 2ACADAB【自主解答】 设p p，q q，r r.ABACAD由题意|p p|q q|r r|a，且p p，q q，r r三向量两两夹角均为 60. ()MNANAM1 2ACAD1 2AB (q qr rp p)1 2|2 (q qr rp p)(q qr rp p)MNMNMN1 4 q
4、q2r r2p p22(q qr rq qp pr rp p)1 41 4a2a2a22(a2 2a22a22) 2a2.1 4a2 2|a，即MN的长为a.MN2222计算两点间的距离的基本方法：(1)把线段用向量表示，然后利用|a a|2a aa a，通过向量运算求|a a|.(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)再练一题1已知平行六面体ABCDABCD，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.求AC的长4图 3237【解】 因为，ACABADAA所以|2()()ACABADAAABADAA|2|2|22()ABADAAABADABA
5、AADAA4232522(0107.5)85.因此|.AC85点到平面的距离如图 3238，已知ABCD是边长为 4 的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离图 3238【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解【自主解答】 以， ，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系，则CDCBCGG(0,0,2)，B(0,4,0)，A(4,4,0)，D(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)(4,2，2)，(2,4，2)，(0，4,2)GEGFBG设平面EFG的法向量为n n(x，y，z)，则有n n0，n n
6、02xyz0，x2yz0，GEGF取x1，则y1，z3，得n n(1,1,3)，n n的一个单位向量n n0.(111，111，311)5则点B到平面EFG的距离为|cos ，n nBGBG|n n0|，|BGn n|n n|BG2112 11 11即点B到平面EFG的距离为.2 11 11用向量法求点面距的方法与步骤再练一题2如图 3239，已知四棱锥SABCD，SA底面ABCD，DABABC90，AB4，BC3，AS4，E是AB的中点，F在BC上，且BFFC，求点A到平面SEF的距1 2离图 3239【解】 以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在的直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系
7、Oxyz，如图所示，则A(0,0,0)，E(0,2,0)，F(1,4,0)，S(0,0,4)，(0,0,4)，(0,2，4)，(1,4，4)ASSESF6设平面SEF的法向量n n(x，y，z)，则n n0，且n n0，SESF即(0,2，4)(x，y，z)2y4z0，且(1,4，4)(x，y，z)x4y4z0.在上面的两个方程中，令zk，则可解得x4k，y2k，zk.所以n n(4k,2k，k)，n n的单位向量n n0.(421，221，121)因此，点A到平面SEF的距离d|n n0|.AS|0，0，4(421，221，121)|4214 2121探究共研型直线与平面、平面与平面的距离探
8、究 1 已知平面的一个法向量n n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，求P(2,1,4)到的距离【提示】 d|APn n|n n|.|1 22 24|44110 3探究 2 四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AB4，ABC60，侧棱PA底面AC，且PA4，E是PA的中点，求PC与平面BED间的距离并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系【提示】 以A为原点，AB为x轴，ACD中CD边上的高AF为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则F为CD的中点，于是A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0,2，0)，3C(2,2，0)，D(2,2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)33
9、设平面BED的法向量n n(x，y，z)，由(4,0,2)，BE(2，2，2)，DE37得Error!即Error!得Error!取z2，得n n(1， ，2)3(2,2，4)，PC3n n2680，故PC平面BED，PCPC到平面BED的距离就是P到平面BED的距离(0,0,2)，EPd.|EPn n|n n|41342直线PC上各点到平面BED的距离都相等棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离1 3【精彩点拨】 把A1D1到平面EFGH的距离转化为直线A1D1上某一点(如
10、点D1)到平面EFGH的距离，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【自主解答】 以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，(1，1，1 2)(0，1，1 2)(0，0，1 3)(1,0,0)，EFFG(0，1，1 6)(1,0,0)，D1A1.D1A1EF又EF平面EFGH，D1A1平面EFGH，D1A1平面EFGH.A1D1到平面EFGH的距离，即D1到平面EFGH的距离设平面EFGH的法向量n n(x，y，z)，8则n n0，且n n0，EFFG即Error!令z6，可得n n(0，1,6)，n
11、n0.(0，137，637)又，D1F(0，1，1 2)d|n n0|D1F，|(0，1，1 2)(0，137，637)|4 3737因此，A1D1到平面EFGH的距离为.4 37371求直线与平面的距离以及平面与平面之间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则2求解点到平面的距离常用的方法：(1)空间向量法；(2)垂线段法；(3)等体积法再练一题3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离图 3240【解】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4
12、,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)9从而(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2，0,4)，EFMNAMBF，EFMNAMBFEFMN，AMBF，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD.设n n(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而Error!解得Error!取z1，得n n(2，2,1)，由于(0,4,0)，AB所以在n n上的投影为 .ABn nAB|n n|84418 3两平行平面间的距离d .|n nAB|n n|8 3构建体系1若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0
13、,1,0)，则线段AB的中OAOBOC点P到点C的距离为( ) 【导学号：15460081】10A. B2165214C. D53532【解析】 () (4,3,6)，而(0,1,0)，OP1 2OAOB1 2(2，3 2，3)OC，PCOCOP(2，1 2，3)|.PC4149532【答案】 D2已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边长的高BD的长等于( )A3 B4 C5 D6【解析】 (4，5,0)，(0,4，3)，ABAC则在上的投影d4，ABAC|ABAC|AC|而|，AB41AC边上的高BD5.4116【答案】 C3点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2.则P到平面BQD的距离为_图 3241【解析】 如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则11B(3,0,0)，D(0,4,0)，P
