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1、大连理工大学 2009 年数学分析考试试题数学分析试题解答一、 计算题1、求极限：12 22.lim,limn nnnaanaaan其中解：121 2222.(1)(1)limlimlim()(1)212nnnnnnaanananaaStolznnnn利用公式2、求极限：21lim(1)xxxex解：2222221(1)1lim(1)lim()1111(1)(1) (ln(1)1limlim111111()21lim121(1)112lim(1)lim()lim()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxexeexxxxxxoexxxxex eexxexeee 3、证明区间（0，1）和（0，+
2、）具有相同的势。证明：构造一一对应 y=arctanx。4、计算积分，其中 D 是 x=0,y=1,y=x 围成的区域21Ddxdyyx解：112 02200011001 011ln()|ln(1)ln(1)ln(1)(1)ln|2ln2yyDdxdydxdyxydyyxyxy dyydyyyyyyy 5、计算第二类曲线积分：，方向为逆22CydxxdyIxy22:21C xy时针。解：2222220022 22 2tan 2222cos ,0,2 )1sin2 11sincos4cos222 113cos22cos22 13(2)(1)812arctan4 21(2)(1)231 14 21
3、CxxyydxxdyIddxyxxxxdxdxxxx x 换元万能公式代换2264 26212xdxdxx 6、设 a0,b0,证明：。11 1bbaa bb证明：1111( )1111(1)111( )( )1ln(1)0()()( )bbxbbbbxaaabf xbbxaabf bbbaabf bbbabababfxTaylorxxxabf x，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证二、 设 f(x)为a,b上的有界可测函数，且证明：f(x)在2 , ( )0,a bfx dx a,b上几乎处处为 0。证明：反证法，假设 A=x|f(x)0，那么 mA0。12 2 , 1 |( ),0(
4、)0,nnnn nna bAx f xAAA mAn mAfx dxn。必然存在某个矛盾三、 设函数 f(x)在开区间（0，+）内连续且有界，是讨论 f(x)在（0，+）内的一致连续性。讨论：非一致连续，构造函数：1( )sin( )( )00,0,0,|“| 11|sinsin|.1“ 211, “|“|(21)(21) 11|sinsin| 1“f xx f xf xxxxxxxxxnxxnnnnxx 显然，连续且有界。但是在时非一致连续反证法：如果一致连续，对当取令。当足够大的时候四、 设，讨论函数的连续性和可微性。242,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)x yx
5、yf x yxyx y 解：1）连续性：连续242200 00 4limlim01xx yyx yyxyy x 2）可微性：可微00222224200 00220 0 24( ,0)(0,0)(0,0)lim0(0, )(0,0)(0,0)lim0( , )( , )( , )limlimlim011xxyxxyxx yyx yf xffx fyffy f x yfx yfx yx yxyxyxyxyy xx 五、 设 f(x)在（a,b）内二次可微，求证：2()( , )( )2 ()( )“( )24abbaa bf aff bf ，满足证明：2( )()( )2 ( )( )( )()(
6、 ),( , )2()( )“( ),( ,)222,( )( )()“( )22bag xf xf xCauchyg xg abagffa xxa Lagrange bababafffbabag xg af 令，利用中值定理：利用中值定理：令=原式六、 f(x)在 R 上二次可导，00“( )0,()0xRfxxR f x ，证明：f(x)在 R 上恰有两个零点。lim( )0, lim( )0 xxfxfx 证明：11111 10( )0lim( ),0,( )2( )()().2 2 ()( )0( )0“( )0( )( )()0(xxf xfxxxxfxxxf xf xxxf xxx
7、f xxf xfxfxf xf x (1)先证：当的时候，所以，当的绝对值足够的时候不妨设当时，当的时候，(2)同理, 当的时候，又为递增函数先单调减少，在单调递增，根据连续函数的介值定理，在00,),(,)xx 各有一个零点七、 设函数 f(x)和 g(x)在a,b内可积，证明:对a,b内任意分割0111| |00:., ,0,1,2,.lim( ) ()( ) ( )niiiinbiiiaiaxxxbx xifgxf x g x dx 有证明：1| |00111000101100( ) ( )lim( ) ( )|( ) ( )( ) ()| |( ) ( )()|max|( )|( )(
8、)|( )|( )()|nbiiiainnniiiiiiiiii iiiniiiiiinniiii iif x g x dxfgxfgxfgxfggxfggxg xggx 根据定义由于可积，所以11| |0000 ()lim |( ) ( )( ) ()| 0iinniiiiii iixfgxfgx ，为振幅，从而得证八、 求级数：0( 1) 31nnn 解：3130030333 3 3 0011133000( 1)( 1) ()( 1,13131( 1) ()( 1,1( 1) ()1 ()()( 1) ()311 11 ( 1)1 ()13lim(31111nnnnnnnnnnnMMM n
9、nnnnMMnxxxnnxxxxxnxxdxdxnxxx 在内收敛在内一致收敛，所以可以逐项求导12021120021 02 33)1ln(1)1()111()3136122()42 ln2121ln2arctan|33333 3x dxxxxd xxd xxxxx九、 讨论函数项级数在(0,1)和(1,+)的222222(1)1(1)n xnxnx n ene 一致收敛性讨论：22222222(1)21(1)lim()n xnxn xnnx n enexn e 1）01222222222222222 2224lim()01()(1 2)00,1,4ln ,( )n xnxxxn xnn n
10、xnxn exeexxeennxn eeeeeexNnN Sx 即十、 计算为圆锥曲面被平222x dydzy dzdxz dxdy ，其中222zxy面 z=0,z=2 所截部分的外侧。解：22222200022222000000()( cossin)(cossin )4Vzzx dydzy dzdxz dxdyxyz dxdydzrrz rd drdzdzr drdzdzrdrd 十一、设 f(x)在0,1上单调增加,f(0)=0,f(1)0存在与单调性矛盾。十二、设 f(x)在0,+上连续，绝对收敛，证明： 0( )x dx00lim( ) ( )(0)( )nxxfx dxfx dxn
11、证明：000000000lim( ) ( )(0)( )( )( )( )( )( )(0)|( ) ( )(0)( )| | ( )(0) ( )|(0)|( )|(0)nxnnnxfx dxfx dxnx dxnx dxx dxxf xnffn xxfx dxfx dxffx dxfnnx dxf因为绝对收敛，当足够大的时候 ，因为连续，所以，当足够大的时候由于的 任意性，所以命题成立十三、设，证明：0na 当下极限时，级数收敛ln(1/)liminf1lnnna n1n na当上极限时，级数发散ln(1/)limsup1lnnna n1n na证明：（1）1(1)ln(1/)liminf
12、121ln ln(1/)111/lnnnrn nr narn anrann an 即足够大的时候根据积分判别公式，知命题成立（2）1(1)ln(1/)limsup1ln ln(1/)111/lnnnrn nr na n anrann an 即足够大的时候根据积分判别公式，知命题成立以上是我做的大连理工的数学分析。由于我没有自学过以上是我做的大连理工的数学分析。由于我没有自学过实变函数，所以那两道题目我是临时抱佛脚的。如果表达实变函数，所以那两道题目我是临时抱佛脚的。如果表达有问题，请大家不要介意。有问题，请大家不要介意。如果有错，请大家及时告诉我，我可以发帖子把勘误发如果有错，请大家及时告诉我，我可以发帖子把勘误发上去。上去。说实话，输入实在太累了。基本上要花掉我说实话，输入实在太累了。基本上要花掉我 6767 个小时个小时的时间，我倒还好，直研之后没有什么事，但是，有不少的时间，我倒还好，直研之后没有什么事，但是，有不少网友现在就要考研了，还帮助大家作卷子。真得很令人感网友现在就要考研了，还帮助大家作卷子。真得很令人感动。努力向他们学习！动。努力向他们学习！朱斌朱斌 zhubin846152zhubin8461522005-11-12005-11-1p.s:p.s:我常用的邮箱：我常用的邮箱： msn:msn:
