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1、收稿日期: 1998203224 修改稿收到日期: 1998206225数字滤波器的稳定性及舍入误差分析杜存纲 韩 威(甘肃广播电视大学 兰州730030)第一作者简介 杜存纲,男, 54岁.甘肃广播电视大学副教授.主要研究方向为电子信息理论. 中图法分类号 TN 71311摘 要 就数字滤波器的稳定性进行了数学描述.从设计的精度问题中引出随机噪声源带来的舍入误 差,给出一种估算这种误差的方法及其噪声频谱图. 关键词 稳定性 随机噪声源 舍入误差 频谱图数字滤波包括两方面:一是对连续时间函数进行等间距的离散时间采样,即取某离散时间 过程的值;二是实现诸如离散时间延迟、乘以常数、加法等运算以得到
2、所要求的结果.随着计 算机技术的不断发展,实现数字滤波器的费用将会越来越少.实践已经和正在证明,由于数字 滤波器具有许多优异特性,因而其应用前景相当广阔深远.1 数字滤波器的稳定性问题稳定性是滤波器设计中的首要问题.若滤波器不稳定,即使输入信号有界,在计算机有限 字长噪声等因素影响下,其输出也可能变得无界,使滤波器不能正常工作.目前,一维时不变 数字滤波器的稳定性问题已得到圆满解决,而时变数字滤波器的稳定性问题则较难处理,尤其 对时变递归数字滤波器稳定性的判别更加困难.时变递归数字滤波器区别于时不变递归数字滤波器的明显之处是表示前者的时变差分方程和广义传递函数之间没有一一对应的关系,因此, 不
3、能用广义传递函数来判定时变递归数字滤波器的稳定性.为此,本文从时域、频域及递归滤 波等3个方面对时变数字滤波器的稳定性进行讨论.111 时变数字滤波器稳定的时域条件 若时变数字滤波器的格林函数为g( n , m) ,其输入x ( n)与输出y( n)的关系为y( n) =nm = -g( n , m) x ( m) .(1)当格林函数g( n , m)是k阶退化序列时,有g( n , m) =kl =0ul( n) vl( m) .(2)时变数字滤波器稳定的时域条件可由下列定理来确定: 定理1 具有格林函数g( n , m)的线性时变数字滤波器稳定的充要条件是nm = -g( n , m)Z0
4、内必绝对收敛. 时变数字滤波器稳定的频域条件可用下列定理2、定理3来确定: 定理2 具有有理广义传递函数H( Z, n)的时变因果数字滤波器稳定的充要条件是:对所 有n ,H( Z, n)的全部极点都在单位圆内. 证明 由(6)式,得H( Z, n) =m =0g( n , n -m) Z- m.(7)先证明充分性.由于对所有的n ,H( Z, n)的全部极点都在单位圆内,所以,H( Z, n)在 区域D= Z;Z1内解析,于是可以找到充分小的 0,使得H( Z, n)在区域D1= Z;Z1 -内收敛.由引理1知H( Z, n)在Z=1上绝对收敛,即m =0g( n , n -m) Z- m=
5、m =0g( n , n -m)Z- m=m =0g( n , n -m)=nm = -g( n , m).(8)由定理1知该滤波器稳定. 再证明必要性.由于时变数字滤波器稳定,因此,当Z1时,有H( Z, n) =nm = -g( n , m) Z- ( n- m)nm = -g( n , m)Z- ( n- m)nm = -g( n , m),即H( Z, n)在Z1内解析,从而H( Z, n)的全部极点都在单位圆内. 】由定理2可知,给定了时变数字滤波器的广义传递函数,可对每个n值检验H( Z, n)的 极点是否在单位圆内来判别时变数字滤波器的稳定性.通常,只要检验出对某个n值,24西
6、北 师 范 大 学 学 报(自然科学版) 第34卷 Journal of Northwest Normal University (Natural Science) Vol134 H( Z, n)的极点在单位圆外,即可判定该时变数字滤波器不稳定. 定理3 若时变数字滤波器的广义传递函数H( Z, n)有如下形式H( Z, n) =mi =0bi( n) Z- i1+Ni =1ai( n) Z- i,(9)若bi( n)有界,并有Ni =1ai 1,则时变数字滤波器是稳定的.其中ai( n)di,n ,i=1,2, N. 证明从略.例如,时变数字滤波器的H( Z, n)=(cosn) Z- 1+
7、Z- 21 +(013sinn) Z- 1+(015cos2n) Z- 2,试判别其稳定性. 由a1( n)= 013sinn,a2( n)= 015cos2n,得a1( n)=013sinn 013 =d1,a2( n)=015cos2n 015 =d2,d1+d2=018 1.由定理3知该时变数字滤波器稳定.113 时变递归数字滤波器的稳定性描述线性时变递归数字滤波器的差分方程为Ni =0ai( n) y( n -i) =Mi =0bi( n) x ( n -i) , a0( n) =1.(10)由广义传递函数H( Z, n)与时变差分方程的关系,知Ni =0ai( n) H( Z, n
8、-i) Z- i=Mi =0bi( n) Z- i.(11)由于时变差分方程与广义传递函数之间没有一一对应的关系,因此,不能用广义传递函数来判 别时变递归数字滤波器的稳定性,故检验时变递归数字滤波器的稳定性是很困难的.这里仅对 缓慢时变特殊情况下的稳定性进行研究. 时变差分方程的系数虽然时刻都在变化,但每一瞬间,又都取一个固定的值,此时刻的差 分方程可看成将系数冻结的时不变差分方程,其冻结时间传递函数为1F( Z, n) =Mi =0bi( n) Z- iNi =0ai( n) Z- i.(12)对于缓慢时变递归数字滤波器,在不能任意缓慢地变为不稳定情况下,有H( Z, n -i)H( Z,
9、n) , i =1,2, N.(13) 这样,由(11)式得H( Z, n)Mi =0bi( n) Z- iNi =0ai( n) Z- i= F( Z, n) .(14)由上述可见,如果F( Z, n)的极点都在单位圆内,就可近似地认为H( Z, n)的全部极点都 在单位圆内.因此,在实际中可利用冻结时间传递函数F( Z, n)来判定缓慢时变递归数字滤波 器的稳定性2.2 数字滤波器设计中的精度问题数字滤波器不论是用物理硬件方法实现还是用计算机程序实现,都会由于字长的限制而产341998年第4期 杜存纲等:数字滤波器的稳定性及舍入误差分析1998 No14 Stability of digi
10、tal filter and rounding error analysis as noise 生误差.误差的原因一般可归纳为3种类型: 第一是由于滤波器系数表达精度有限引起的,它对所求的滤波器的传递特性和稳定性均有 影响.由于非递归滤波器没有反馈结构,因此不存在稳定性问题.只要粗略地观察组成权序列 的系数的相对值,即可估计出其系数和传递函数的精度.而递归滤波器具有反馈结构,因此必 须考虑稳定性问题.当采样周期T很小时,冲激恒定法和双线性Z变换法其广义传递函数H( Z, n)(9)式)具有相同特性的多项式分母.要使滤波器具有足够的稳定性,须注意以下两种情况:1)如果被数字化的滤波器是低阶的,它
11、不存在轻阻尼的极点,极点的模值近似相同;如 果采样速度不比510倍的平均极点模值大得多,那么冲激恒定法和双线性Z变换法均可以得 到满意的结果.2)当滤波器的阶次较高,且T满足PnT( Pn是H( S)的第n个极点)时,则须慎 重选择设计方法.其原则应包括或允许将高阶滤波器分解为一组低阶滤波器的设计方法3.第二是由于输入数据只能量化到一定位数而引起的. 第三是由于数字滤波器进行乘法和加法运算时的舍入误差引起的. 为了确定这些误差源在数字滤波器中的影响,可将其视为随机噪声源来处理.限于篇幅, 本文着重就舍入误差进行一些探讨和分析.3 作为噪声的舍入误差处理输入信号时,会因乘法器中的舍入而出现误差,
12、由于舍入是所处理信号的幅度的函 数,所以这种舍入误差是非线性的.对此,目前尚无较理想的精确方法. 通常用于估算这种误差的方法是使随机噪声源与每一乘法器关联.假定噪声是均匀分布于乘法器输出端被舍入成相同数的某个数的区间内,即在二进制小数点之后两比特 其中0,1 4,1 2,3 4为允许小数 的情况下,任何数x1 8x38均被选定在1 4.因此,在这种滤波器中,与乘法器相关的噪声源将具有幅度为并均匀分布在-1 81 8范围内的噪声.为了考察如何通过引入噪声来对舍入误差作近似,笔者研究二阶数字滤波器的脉冲传递函 数,其一般形式为H( Z)=a0Z2+a1Z+a2Z2+b1Z+b0.(15)假定在每次
13、相乘时,乘积均舍入成3个小数比特.那么,舍入误差最大为 1 24=1 16,而它在每一乘法器的影响可用另一个均方根电平在所有频率上均为区间宽度的112的附加噪声源来近似.即1 81 12=010361.因此在3个小数比特的情况下,均方根值为010361,此即舍入误差.由于舍入误差影响输出,可用图1的数字电路进行计算.图1中,?表示加法运算, 表示乘法运算,矩形代表延迟单元.其中噪声源( n1和44西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版) 第34卷 Journal of Northwest Normal University (Natural Science) Vol134 图1 近似计算舍
14、入误差影响的滤波器电路n2)被视作类似于V ( KT)的附加输入.这样,分析噪声对输出的影响,只需求解将n1和n2 视作附加噪声源V ( KT)的方程即可.该差分 方程为X1( K +1) T) =7 8X1( KT) + n1( KT) + V ( KT) ,X2( K +1) T) =3 4X1( KT) + n2( KT) + V ( KT) ,Y( KT) = X1( KT) + X2( KT) .(16)假如使用系数只有3个小数比特的乘法器, 则其脉冲传递函数可化为较简单的形式H( Z) =组低2Z -13 8Z -7 8法运1Z -3 4.(17)图2 分别实现方程中的因数,然后级
15、联实现所需乘积当脉冲传递函数为两个因数 的乘积时,可将其分别实现 后再级联起来.图2所示的 数字滤波器可实现(17)式的 关系.该系统允许有较多个 乘法器,图2所示为4个乘 法器的电路结构. 按图2可写出其差分方 程为X1( K +1) T) =7 8X1( KT) + n1( KT) + n2( KT) +1 8V ( KT) ,X2( K +1) T) = X1( KT) +3 4X2( KT) + n3( KT) +2V ( KT) ,Y( KT) = X2( KT) .(18)变换到Z域可得4(Z -7 82X1( Z) = n1( Z) + n2( Z) +1 8V ( Z) -X1
16、( Z) +乘时Z -3 4X2( Z)= n3( Z) +2V ( Z) .(19)X2( Z)=Y( Z)时求解(19)式,可得Y = X2=( n1+ n2) + n3下,Z -7 8+ V字电2Z -13 8代表Z -7 8Z -3 4.(20)541998年第4期 杜存纲等:数字滤波器的稳定性及舍入误差分析1998 No14 Stability of digital filter and rounding error analysis as noise 由(20)式可见,用以上输入至输出的脉冲传递函数相比较,噪声源的输出随频率函数关系 具有不同的响应.图3给出了上述两种实践中相对噪声频谱密度随频率变化的曲线. 这种噪声分析法可用来比较以舍入误差为基础的各种不同的实践.由
