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1、动 力 学研究受力物体的运动与作用力之间的关系动力学质点动力学的基本方程 动量定理 动量矩定理 动能定理第九章 质点动力学的基本方程q几个基本概念q动力学的基本定律q质点的运动微分方程q质点动力学问题的应用举例几个几个基本概念q动力学包含：质点动力学 和质点系动力学 q质点 具有一定质量而几何形状与尺寸大小可以忽略不计的物体 q质点系 由两个（以上）相互联系的质点所组成的系统 q刚体（静力学中已有定义） 不变的质点系；任意两个质点间的距离始终保持 不变的质点系（质点系的特殊情形）牛顿三定律（物理学的已有基础）：q第一定律（惯性定律）q第二定律（力与加速度之间的关系的定律）q第三定律（作用与反作
2、用定律）9-1 动力学的基本定律牛顿第一定律牛顿第一定律（惯性定律）：不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。o 惯性质点保持其速度大小、方向不变的性质，静止是其特殊情况。惯性的大小用质点质点的质量来来度量。o 匀速直线运动也称为惯性运动，第一定律给出了物体 作惯性运动的条件。注意：（相对论）惯性的度量与速度有关，工程上（远 小于光速）可以忽略速度对惯性度量的影响。牛顿第二定律牛顿第二定律：质点的动量对时间的一阶导数等于作用在质点上的力当质点的质量为常量（经典力学）时：式中 为（汇交力系的合）力， 为质量（质点惯性的度量）质点的质量与质点加速度的乘积等于作用在质点上的力（地球表面）的重力
3、与重力加速度地球表面的重力P与重力加速度 g ：或者： g=9.80665m/s21N=1kg1m/ s21dyn=1g 1cm/ s21N=105dyn牛顿第三定律牛顿第三定律：两个物体间的作用力与反作用力等值、反向、共线， 且同时分别作用在这两个物体之上。（静力学公理四）牛顿第三定律提供了从质点动力学 到质点系动力学 的桥梁q惯性参考系牛顿三定律适用的参考系q经典力学以牛顿三定律为基础的力学惯性参考系： 牛顿定律的结论只有在惯性参考系才是正确的。以太阳为原点，三个坐标轴指向三个恒星的 日心参考系是惯性参考系。(研究天体的运 动、地心的运动等) 以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的 地心参
4、考系是惯性参考系。(人造卫星的轨道 、洲际导弹的弹道等) 一般的工程问题，把固定于地面的坐标系或相 对于地面作匀速直线平移的坐标系为惯性坐标系9-2 质点的运动微分方程矢量形式矢量形式直角坐标形式直角坐标形式自然轴系形式自然轴系形式一、矢量形式设可以自由运动的质点M，其 质量为m，作用力的合力为F ，加速度为a，则这是 质点运动微分方程的矢量形式质点运动微分方程的矢量形式二、直角坐标形式质点运动微分方质点运动微分方 程的矢量形式程的矢量形式把矢径r 和力F 在Oxyz轴上投影这是这是 质点运动微分方程的质点运动微分方程的 直角坐标形式直角坐标形式二、自然形式(自然轴上投影)质点运动微分方质点运
5、动微分方 程的矢量形式程的矢量形式把矢径 r 和力F 在Mtnb轴上投影这是这是 质点运动微分方程的质点运动微分方程的 自然形式自然形式质点动力学的两类基本问题：质点动力学的两类基本问题：第一类问题：第一类问题： 已知运动，求力已知运动，求力第二类问题：已知力，求运动第二类问题：已知力，求运动第一类问题的求解：第一类问题的求解：已知已知 r=r(t)r=r(t)，对其求导，代，对其求导，代 入左边公式，即可求得力入左边公式，即可求得力F F质点动力学的两类基本问题：质点动力学的两类基本问题：第二类问题的求解：是积分过程第二类问题的求解：是积分过程在求解第二类问题时，方程在求解第二类问题时，方程
6、 的积分中要出现积分常数，为了确的积分中要出现积分常数，为了确 定质点的运动，必须根据运动的初定质点的运动，必须根据运动的初 始条件定出这些积分常数。始条件定出这些积分常数。第一类问题：第一类问题： 已知运动，求力已知运动，求力第二类问题：已知力，求运动第二类问题：已知力，求运动例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程可近似写为 如滑块的质量为m, 忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当 ,连杆AB所受的力.时和20pw=t解:研究滑块其中已知:则求:有得这属于动力学第一类问题。当得例2：俯冲的飞机解：采用自然轴
7、系讨论：当 =0时，有歼击机飞行时，载荷因数Fmax/P可达10，引起“黑晕黑晕”。法向：得到：重P 的飞机沿铅垂平面俯冲的某瞬时 速度v =const. 航线曲率半径 已知，飞机轴线与水平面倾角为 ，求飞机的升 力 F。例9-2 质量为m的小球以水平速度v0 射入静水之中，如图所 示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，而大小 成正比，即F=-v。 为阻尼系数。忽略水对小球的浮力 ，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。 解： （1）取小球为研究对象 （2）受力分析：小球在任意位置M处，受 力有重力mg和阻力F=-vxi- vyj。为求vx、vy，将上两式分离变量，得 （3）小球沿x、y
8、轴 的运动微分方程为 积分: 由初始条件： t=0时，vx=v0，vy=0。代入上两式求得两个积分常数可得 或 可得 再积分，得由初始条件：t=0时，x=y=0。代入上两式，求得常数 4）质点的运动方程为 当t趋于无穷大时:小球趋于等速铅垂下落 下落速度 c= mg/,称为极限速度。 小球的轨迹趋于一铅垂直线例9-3：圆锥摆某圆锥摆，小球在水平面内作匀速圆周运动，已 知小球质量m=0.1kg，l=0.3m，=60，求 小球速度v 与绳子张力F。解：法向：副法向：解出：=1.96N=2.1m/s这是混合问题。例4：刹车的作用运动为圆周运动；按自然轴列方程：对象为重物；作用力有P、T向右运动过程中
9、a 为负值（减速）。当 = 0，v = vmax= v0静约束力拉力的改变量已知：吊车的吊重为P，匀速 v0，绳长为l，空气阻力不计。求： 小车突然刹车后，绳子拉力T 的变化。解：TPlv0v动约束力例9-4：粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平轴 匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了 使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 时才掉 下来。求滚筒每分钟的转数n 。解：取铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着 沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时， 会脱离筒壁而沿抛物线下落。铁球在上升过 程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN 和 切向反力F 的作用。 列出质点的运动微分方程在主法线上的投 影式铁
10、球在未离开筒壁前的速度，等于筒壁上 与其重合点的速度。即解得当 时，铁球将落下，这时 ，于是的滚筒转速 讨论1、显然， 越小，要求 n 越大。2、当 时， 铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁下落，起不到粉碎矿石的作用。 例5：弹簧质量系统（1）弹簧质量系统，物块的质量为 m ，弹簧的刚度系数为 k，物块在平衡位置的初始速度为 v0。求：物块的运动方程l0 0mkv0例5：弹簧质量系统（1）解：这是已知力（弹簧力）求运动规律，故为第二类动力 学问题。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置 x 0 处。物块在 x 方向只受有弹簧力：Fk x。 根据直角坐标系中的质点运
11、动微分方程l l0 0xxOmkFl0 0mk例5：弹簧质量系统（1）F Fl0 0xxOmk例6：弹簧质量系统（2）l l0 0m mk kv v0 0弹簧质量系统，物块的质量为 m ，弹簧的刚度系数为 k，物块自平衡位置的初始速度为 v0。求：物块的运动方程例6：弹簧质量系统（2）F Fx xm mk kx xO O解：这是已知力（弹簧力）求运动规律， 故为第二类动力学问题。以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡 位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于 任意位置 x 0 处。l l0 0st stWW物块在 x 方向只受有弹簧力Fk (x +st) 和重力Wmg。根据直角坐标系中的质点运动微分方程：例6：弹簧质量系统（2）F Fx xm mk kx xO Ol l0 0st stWW例6：弹簧质量系统（2）例6：弹簧质量系统（2）计算结果分析l l0 0m mk kv v0 0l l0 0x xx xO Om mk k v v0 0重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。作业： 习题 9-5，9-8，9-18
