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1、 年级：高二 科目：数学 年级：高二 科目：数学 第一学期第六周 第一学期第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 1 页 一、 本周教学内容一、 本周教学内容 本周我们介绍求已知递推公式的数列的通项公式的方法以及一般数列求前 n 项和问 题。这部分内容须在同学们扎实地掌握了前面所讲的等差、等比数列的各种性质、公式以及 推导方法的基础上学习， 再加上灵活应用。 这对我们进一步理解掌握数列知识是非常有好处 的，特别是由递推式求通项公式，供学有余力的同学参考学习。 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 2 页 二、重点难点分析二、重点难点分析 （一）由递推公式求数列通项问题 把未知
2、的、不熟悉的、复杂的问题，通过变形，转化为已知的、熟悉的基本问题，是解 决数学问题的重要思想。 这一思想也贯穿在很多特殊数列的研究过程中。 前面我们介绍过用 等差、等比数列的递推公式an=an-1+d、an=qan-1求通项。应该知道，数列有各种各样的递推公 式，但基本的有以下四种类型： an=an-1+f(n)型（等差数列型） an=f(n)an-1型（等比数列型） an=qan-1+d型（等差等比综合型） an=pan-1+qn-2型（等比混合型） 我们设法将其转化为等差等比数列的问题加以解决。 例 1已知数列an，a1=1，an=an-1+n（n2，nN+）求通项公式 解：由an=an-
3、1+n得a2=a1+2 a3=a2+3 a4=a3+4 an=an-1+n 以上各式相加得an=a1+2+3+4+n=1+2+3+4+n=21)n(n +例 2已知数列an，a1=3，an+1=2n an（nN+）求通项 解：由an+1=2n an得a2=2a1a3=22a2 a4=23a3 an=2n-1an-1各式相乘得 an=a1222232n-1=321+2+（n-1）=321)n(n 2说明：以上两例分别是an=an-1+f(n)型和an=f(n)an-1型，采用的方法与推导等差、等比数列 通项公式相同的方法即累加法和累乘法。 例 3已知数列an，a1=1，an+1=2an+1（nN
4、+）求通项 解法一： （累加法）an+1=2an+1（nN+） an=2an-1+1 2an-1=22an-2+2 22an-2=23an-3+22 2n-2a2=2n-1a1+2n-2 将以上各式相加得an=2n-1a1+（1+2+22+2n-2）=2n-1 解法二：an+1=2an+1 an+1+1=2（an+1） （nN+） 若设bn=an+1 则上式为bn+1=2bn即bn为首项为b1=a1+1=2，公比为 2 的等比数列 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 3 页 an+1=bn=22 n-1=2n an=2 n-1 解法三：an+1=2an+1（nN+） an+2=2an+
5、1+1 二式相减得an+2-an+1=2(an+1-an) 上式表明an+1-an为以a2-a1=2 为首项，2 为公比的等比数列 an+1-an=2n 将an+1=2an+1 代入上式可得an=2n-1（nN+） 说明：后二种方法采用不同的方法对已知递推式变形，构造出新的数列，而新数列是等 差或等比的基本数列，从而解决了未知数列的通项问题。 解法二：即把an+1=pan+q式中的q拆项，化为an+1+x=p(an+x)形式，观察或用待定系数法求 得x，从而an+x为等比数列。 解法三叫逐差法，这一变形方式是研究数列问题常用的。 例 4已知a1=1，a2=3 且an+2-2an+1+an=4（
6、nN+）求通项an 解：an+2-2an+1+an=4（nN+） (an+2-an+1)-( an+1-an)=4 设bn=an+1-an 数列bn为以 4 为公差，a2-a1=2 为首项的等差数列 an+1-an=bn=2+(n-1)4=4n-2 an+1=an+4n-2 此为等差型的递推式，由累加法可求an=2n2-4n+3 说明：此例递推式为等比混合型，其解法思路仍是设法构造是等差或等比的基本数列. 由递推公式求通项公式还有其它方法，比如归纳、猜想、证明，有关知识高三时会进一 步研究。 （二）求数列前 n 项和问题 一般说来，求数列的前 n 项和要借助于通项公式，也就是说，先有通项公式，
7、后有前 n 项和公式。 如果数列an的前n项和为Sn，前n项公式为S（n）那么对S(n)有两种等价的观点： 一种是：S（n）=Sn=a1+a2+an即S（n）是an前n项和Sn的结果 另一种是：Sn是前n项和数列Sn的通项 求一个数列的前 n 项和时，都基于这两个观点 例 5已知数列an，an=tn+n-3(t0，t为常数，nN+)，求Sn 分析：观察通项公式，an可分别为一个公比为t的等比数列tn和一个公差为 1 的等差 数列n-3，因此，只要分别求出这两个数列的前n项之和，再把它们相加就可以了，注意到 等比数列前n项和公式对公比的要求，解法如下： 解：当t=1 时，Sn=n+2)5( 2)
8、3(2=+nnnn当t1 时，Sn=2)5( 1)1 (+nn tttnSn= 2)3( nn(t=1) 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 4 页 2)5( 1)1 (+nn tttn(t1) 例 6求Sn=7+77+777+777 n 个 解：设an=777=97（999）=97（10n-1） n 个 n 个 数列an由一个等比数列9710n和一个常数列97构成 Sn=)10910(817 97 101)101 (10971=+nnnn说明：以上两例都是化归法，转化为等差、等比数列求和问题解决。 例 7求Sn=1+2q+3q2+nqn-1（q0） 分析： 观察所给数列的各项是由一个
9、等差数列与一个等比数列的相应项之积构成。 联想 到求等比数列前 n 项和的“错位相减法” ，得到如下解法 解：当 q=1 时 Sn=1+2+3+n=2) 1( +nn当 q1 时 Sn=1+2q+3q2+nqn-1 qSn=q+2q2+3q3+(n-1)qn-1+nqn 二式相减（1-q）Sn=1+q+q2+q3+qn-1-nqn=nn nqqq 11Sn=21)1 () 1(1 qnqqnnn+Sn= 2) 1( +nn(q1) 21)1 () 1(1 qnqqnnn+ (q=1) 说明：错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中anbn分别为等差、等比数列 例 8求Sn=) 1(1 3
10、21 211 +nn分析：所给数列很难转化为等差、等比数列，因此考虑用拆项法，对于an=) 1(1 +nn可天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 5 页 写成an=111 +nn解：an=111 ) 1(1 +=+nnnnSn=(1-21)+)111()31 21(+nn=1-111 +=+nn n说明：拆项法的基本原理是对于数列an，若能找到f(n)使an=f(n+1)-f(n)则有 an=f(n+1)-f(n) an-1=f(n)-f(n-1) a2=f(3)-f(2) a1=f(2)-f(1) 各式相加，得Sn=a1+a2+an=f(n+1)-f(1) 所以拆项法实质上是累加法的逆
11、用， 应用拆项法关键在于能否找到 f(n)， 例题中 f(n)=n1例 9已知an，a1=3，且an=Sn-1+2n（n2，nN+） 求an及Sn 解：将an=Sn-Sn-1代入an=Sn-1+2n Sn-2Sn-1=2n 等式两边都除 2n得12211= nn nnSS设bn=nnS 2数列bn为公差为 1，首项为23 211=S的等差数列 21) 1(23+=+=nnbn也即21 2+= nSnnSn=(2n+1)2n-1当n2 时an=Sn-Sn-1=(2n+3)2n-2an= 3 (n=1) (2n+3)2n-2 （n2，nN+） Sn=(2n+1)2n-1 说明：例 9 中将Sn看成
12、数列Sn的通项，所以求法与求通项公式方法类似，常用构造基 本数列的求解思想。 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 6 页 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 7 页 三、随堂监测三、随堂监测 A 组组 1已知数列an，a61=1995，且an+1=n+an，则a1的值是（ ） A 165 B 76 C 46 D 76 2若数列an的前n项和公式为Sn=log3(n+1)，则a5等于（ ） A log56 B log3 56C log36 D log35 3数列项和为的前nnn+,21) 12( ,1617 ,815 ,413 ,211_. 4 数列n，+3211,3211 21
13、1, 1的前 n 项和是_. 5 求数列 1， （1+2） ， （1+2+22） ， ， （1+2+22+2n-1） 的前n项和_. 6 数列an中， a1=1， n2 时， 都有a1 a2 a3an=n2， 求a3+ a5的值_. 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 8 页 四、随堂监测四、随堂监测 B 组组 1an的通项公式是an =11+nn（nN+） ，Sn=10，则n为（ ） A 11 B 99 C 120 D 121 2数列nn21,813 ,412 ,211的前 n 项和为（ ） A 12212+nnnB 12) 1(2+nnnnC nnn 22121Dnnn21)2(2
14、12+ 3 f(1)21()21(=+tft则=+)20042003()20043()20042()20041(ffff_ 4an满足a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)，求a1+a2+a3+ an 5已知an，a1=2，an0，且an+1-an=2an+1an（nN+）求an 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 9 页 五、参考答案五、参考答案 A 组 A 组 1A 2B 3Sn=n2+1-n214Sn=12 +nn（提示数列通项为an=122 ) 1(22) 1(1 211 +=+=+=+nnnnnnn，以后用累加法） 5Sn=2n+1-n-1(提示数列通项an=1+2+22+2n-1=122121=nn
