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1、Future Learning不定积分第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质 四、小结例定义:一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理:简言之:连续函数一定有原函数.问题:(1) 原函数是否唯一?例( 为任意常数 )(2) 若不唯一,它们之间有什么联系?关于原函数的说明:(1)若 ,则对于任意常数 ,(2)若 和 都是 的原函数,则( 为任意常数)任意常数积分号被积函数不定积分的定义:被积表达式积分变量例1 求解解例2 求实例启示能否根据求导公式得出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因 此可以根据求导公式得出积分公式.二、 基本积分表
2、基 本 积 分 表是常数);说明:简写为例4 求积分解根据积分公式(2)三、 不定积分的性质例7 求积分解第二节 换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结 问题解决方法利用复合函数,设置中间变量.过程令一、第一类换元法第一类换元公式(凑微分法)说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同,所得结论不同.定理1例1 求解(一)解(二)解(三)大家可以看到三种解法的结果因方法的不同而形式 上不同,但在实质上是相同的,即它们的导数均是sin2x.例2 求解例3 求解例4 求解: 例5 求解类似地可推出问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令(应用“凑微分”即可求出结果)二、第二类换元法则有
3、换元式定理2例6 求解:求这个积分的困难在于有根式 ,但我们可 以利用三角公式来化去根式。于是所求积分为例7 求解 令例8 求解 令例9 求解 令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下:当被积函数中含有可令可令可令例10 求解 令第三节 分部积分法一、基本内容二、小结问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、基本内容例1 求积分解(一)令显然, 选择不当,积分更难进行.解(二)令例2 求积分解(再次使用分部积分法)总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3 求积分解令合理选择 ,正确使用分部积 分公式二、小结使用经验 :“反对幂指三” , 前 u 后