应力更新算法

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1、9 应力更新算法应力更新算法本本构构方方程程率率形形式式的的积积分分算算法法称称为为应应力力更更新新算算法法（也也称称为为本本构构更更新新算算法），包括：法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，即自动满足客观性的超弹性势能。基于弹性响应的应力更新方案，即自动满足客观性的超弹性势能。给出描述本构模型的某些其它连续介质力学观点，给出描述本构模型的某些其它连续介质力学观点，展示展示Euleria

2、n，Lagrangian和两点拉伸的概念，和两点拉伸的概念，描述后拉、前推和描述后拉、前推和Lie导数的运算，导数的运算，材材料料框框架架客客观观性性，材材料料的的对对称称性性，以以本本构构行行为为的的张张量量表表示示讨讨论论了不变性的某些方面，了不变性的某些方面，讨讨论论由由于于热热力力学学第第二二定定律律和和某某些些附附加加的的稳稳定定性性必必要要条条件件对对材材料料行为的约束。行为的约束。9 应力更新算法应力更新算法 对对于于积积分分率率本本构构方方程程的的数数值值算算法法称称为为本本构构积积分分算算法法或或者者应应力力更更新新算法算法。对于率无关和率相关材料提供。对于率无关和率相关材料

3、提供了了本构积分算法。本构积分算法。 讨讨论论简简单单的的小小应应变变塑塑性性，将将小小应应变变算算法法扩扩展展至至大大变变形形，将将大大变变形形分析的积分算法保持在基于本构方程客观性的基础上。分析的积分算法保持在基于本构方程客观性的基础上。 展示了关于大变形塑性的逐步客观积分算法。展示了关于大变形塑性的逐步客观积分算法。 讨讨论论关关于于大大变变形形超超弹弹塑塑性性材材料料的的应应力力更更新新算算法法，回回避避对对应应力力率率方程的积分。方程的积分。 描描述述了了与与本本构构积积分分算算法法相相关关的的计计算算模模量量，采采用用隐隐式式求求解解算算法法发发展展材料的切线刚度矩阵。材料的切线刚

4、度矩阵。率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法小应变、率无关弹塑性的本构方程小应变、率无关弹塑性的本构方程 应力应变反应与变形率无关的一种材料称为率无关；否则为率相关。应力应变反应与变形率无关的一种材料称为率无关；否则为率相关。 ， Kuhn-Tucker条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非负负的，的，第二个条件表明第二个条件表明当塑性加载时，当塑性加载时，应应力状力状态态必必须须位于或限制在塑性表面上，位于或限制在塑性表面上，最后条件也可以作最后条件也可以作为为由已知一致性条件由已知一致性条件的率形式。的率形式。

5、塑性流塑性流动动方向方向经经常特指常特指为为，这这里里称称为为塑性流塑性流动势动势 屈服条件屈服条件 是是标标量塑性流量塑性流动动率，率，是塑性流动方向是塑性流动方向h 塑性模量塑性模量 q 内变量内变量 ）应应力状力状态态必必须须保持在屈服面保持在屈服面因此因此。对对于于弹弹性加性加载载或者卸或者卸载载，没有塑性流，没有塑性流动动。对对于塑性加于塑性加载载（率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法上，上，在时刻在时刻n 给出一组给出一组 和和应变应变增量增量 本构本构积积分算法的目的是分算法的目的是计计算算并并满满足加卸足加卸载载条件条件 在在时时刻的刻

6、的应应力力给给出出为为 求解的一致性条件给出 设想能够应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变设想能够应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变率和内变量率，并且写出简单的率和内变量率，并且写出简单的向前向前Euler积分公式算法积分公式算法率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法但在下一步，但在下一步，这这些些应应力和内力和内变变量的更新量的更新值值并不并不满满足屈服条件，所以足屈服条件，所以 由由于于解解答答从从屈屈服服表表面面漂漂移移，常常常常导导致致不不精精确确的的结结果果，因因此此不不受受人人青青睐睐。公公式式也也称称为为切切线线模模量

7、量更更新新算算法法，形形成成了了计计算算率率无无关关塑塑性早期工作的基性早期工作的基础础。率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 这导这导致考致考虑虑另外一些方法另外一些方法进进行率本构方程的行率本构方程的积积分，目的之一是分，目的之一是强强化在化在时间时间步步结结束束时时的的一致性一致性，例如，例如， 为为避避免免离离开开屈屈服服面面的的漂漂移移。有有许许多多不不同同的的积积分分本本构构算算法法，这这里里主主要要关关注注一一类类方方法法返返回回图图形形算算法法，它它是是强强健健和和精精确确的的，被被广广泛泛应应用。著名的用。著名的von Mises塑性

8、塑性径向返回方法径向返回方法是返回是返回图图形算法的特例。形算法的特例。返回图形算法包括：返回图形算法包括： 一个初始的弹性预测步，包含（在应力空间）对屈服表面的偏离，一个初始的弹性预测步，包含（在应力空间）对屈服表面的偏离， 以及塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面。以及塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面。方法的两个组成部分是：方法的两个组成部分是： 一个积分算法，它将一组本构方程转换为一组非线性代数方程，一个积分算法，它将一组本构方程转换为一组非线性代数方程， 一个对非线性代数方程的求解算法，该方法可基于不同的积分算法，一个对非线性代数方程的求解算法，该方法可基于不同的积分算法， 例

9、如生成梯形法则，生成中点法则或者例如生成梯形法则，生成中点法则或者Runge-Kutta方法。方法。基于向后基于向后Euler算法，考虑一个完全隐式方法和一个半隐式方法。算法，考虑一个完全隐式方法和一个半隐式方法。完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 在完全隐式的在完全隐式的向后向后Euler方法方法中，在步骤结束时计算塑性应变中，在步骤结束时计算塑性应变和内变量的增量，同时强化屈服条件，这样，积分算法写成为和内变量的增量，同时强化屈服条件，这样，积分算法写成为公式是一公式是一组组关于求解关于求解的非的非线线性代数方程。注意到性代数方程。注意到更新更新变变

10、量来自前一个量来自前一个时间时间步步骤结骤结束束时时的的收收敛值敛值，这这就避免了非物理意就避免了非物理意义义的效果，例如当用不收的效果，例如当用不收敛敛的塑性的塑性应应变变和内和内变变量量值值求解路径相关塑性方程求解路径相关塑性方程时时可能可能发发生的生的伪伪卸卸载载。 在时刻在时刻n 给出一组给出一组 和和应变应变增量增量通通过过方程系方程系统统的解答的解答获获得了得了应变应变 在时刻在时刻n 1， 完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法如果解答如果解答过过程是程是隐隐式的，可以理解式的，可以理解应变应变是在是在隐隐式解答算法的最后迭代后的式解答算法的最

11、后迭代后的总总体体应变应变。 塑性应变增量给出为塑性应变增量给出为 代入表达式代入表达式 关联塑性的最近点投射方法关联塑性的最近点投射方法 是是弹弹性性预测预测的的试应试应力力是是塑性修正塑性修正量，它沿着一个方向，即量，它沿着一个方向，即规规定定为为在在结结束点束点处处塑性流塑性流动动的方向，的方向，返回或者投射返回或者投射试应试应力到适当更新的屈服表面（考力到适当更新的屈服表面（考虑虑硬化）。硬化）。 而数而数值值完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法由由总总体体应变应变的增量的增量驱动弹驱动弹性性预测预测状状态态，而由塑性参数的增量，而由塑性参数的增量

12、驱动驱动塑性修正状塑性修正状态态。因此，在。因此，在弹弹性性预测阶预测阶段，塑性段，塑性应变应变和内和内变变量保持固定，而量保持固定，而当塑性修正当塑性修正阶阶段，段，总总体体应变应变是不是不变变的。在的。在弹弹性性预测阶预测阶段，由公式得到的段，由公式得到的结结果果为为关联塑性的最近点投射方法关联塑性的最近点投射方法 其中其中完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 非非线线性代数方程性代数方程组组解答一般由解答一般由Newton过过程求解。基于分程求解。基于分类线类线性化方程性化方程组组的的Newton过过程，和根据最近投射点的概念引程，和根据最近投射点的

13、概念引导导塑性修正返回到屈服表面。在算塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正法的塑性修正阶阶段中，段中，总总体体应变应变是常数，是常数，线线性化是相性化是相对对于塑性参数增量于塑性参数增量在在Newton过过程中程中应应用下面的用下面的标记标记：关于一个方程：关于一个方程的的线线性化，性化， 并有并有 在第在第k次迭代时记为次迭代时记为 为适合为适合Newton迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标脚标 完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法这组方程的线性化给出这组方程的线性化给出 3个方程可以联

14、立求解个方程可以联立求解 这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是 Newton过过程程是是连连续续计计算算直直到到收收敛敛到到足足以以满满足足准准则则的的更更新新屈屈服服表表面面。这这个个过过程程是是隐隐式式的的并并包包括括了了方方程程在在单单元元积积分分点点水水平平的的结结果果。该该方方法法的的复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂本构。复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂本构。脚标为偏导数脚标为偏导数 一致性条件：在加卸一致性条件：在加卸载载过过程中，材料的程中，材料的应应力点始力点始终处终处于屈服面上于屈服面上应用于应用于J2流动理论流

15、动理论径向返回算法径向返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 小小应变时应变时的的弹弹塑性本构关系和框塑性本构关系和框5.6的的J2 流流动动理理论论，注意到塑性流注意到塑性流动动方向是在偏方向是在偏应应力的方向，力的方向，给给出出为为J2塑性流动理论塑性流动理论基于基于von Mises屈服面，屈服面，它特别适用于金属塑性，它特别适用于金属塑性，该该模型的模型的关关键键假假设设是是压压力力对对在金属中的塑性流在金属中的塑性流动动没有影响没有影响；屈服条件；屈服条件和塑性流和塑性流动动方向是基于方向是基于应应力力张张量的偏量部分。量的偏量部分。 它也是屈服表面的法向，即它也是屈服表面的法向，即

16、 在偏应力空间，在偏应力空间，Mises屈服屈服表面是环状，法向是径向。在表面是环状，法向是径向。在塑性流动的方向（径向），定塑性流动的方向（径向），定义一个单位法向矢量为义一个单位法向矢量为应用于应用于J2流动理论流动理论径向返回算法径向返回算法 9 应力更新算法应力更新算法算法的重要特性是算法的重要特性是在整个塑性修正状在整个塑性修正状态过态过程中不程中不变变化化保持在径向，保持在径向， 因此塑性因此塑性应变应变的更新是的更新是 的的线线性函数，而塑性流性函数，而塑性流动动残量恒残量恒为为零：零： 唯一的内唯一的内变变量（量（各向同性硬化各向同性硬化）是累）是累积积塑性塑性应变应变，给给出

17、出为为 因此，内因此，内变变量的更新也是量的更新也是的的线线性函数，相性函数，相应应的残量的残量为为零，例如，零，例如， 适合适合Newton迭代的塑性更新和屈服条件，省略迭代的塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标脚标 屈服条件屈服条件给给出出为为而而f 的的导导数是数是和和 应用于应用于J2流动理论流动理论径向返回算法径向返回算法 9 应力更新算法应力更新算法各向同性硬化：只有一个硬化参数各向同性硬化：只有一个硬化参数q，屈服面表面扩张，屈服面表面扩张幂硬化：屈服面中心不变，屈服面尺寸改变幂硬化：屈服面中心不变，屈服面尺寸改变运动硬化：屈服面中心平移，尺寸不变，中心位置为背应力的内变量运动硬化

18、：屈服面中心平移，尺寸不变，中心位置为背应力的内变量关联塑性：塑性流动沿着屈服面的法线方向；否则，为非关联塑性关联塑性：塑性流动沿着屈服面的法线方向；否则，为非关联塑性径向返回算法编程径向返回算法编程 9 应力更新算法应力更新算法1 设初始值设初始值 2 在第在第k次迭代时检查屈服条件次迭代时检查屈服条件 如果如果 则收敛，否则则收敛，否则 go to 3 3 计算塑性参数的增量计算塑性参数的增量 4 更新塑性应变和内变量更新塑性应变和内变量 9 应力更新算法应力更新算法算法模量算法模量 在在隐隐式式方方法法中中，需需要要合合适适的的切切线线模模量量。由由于于在在屈屈服服时时突突然然转转化化为

19、为塑塑性性行行为为，连连续续弹弹塑塑性性切切线线模模量量可可能能引引起起伪伪加加载载和和卸卸载载。为为了了避避免免这这点点，采采用用了了一一个个基基于于本本构构积积分分算算法法的的系系统统线线性性化化的的算算法法模模量量（也称为（也称为一致切线模量一致切线模量），代替了连续弹），代替了连续弹塑性切线模量。塑性切线模量。下面给出下面给出完全隐式向后完全隐式向后Euler方法的算法模量方法的算法模量的推导。的推导。向后向后Euler更新算法切线模量定义为更新算法切线模量定义为 对于对于J2流动理论的情况，算法模量是与径向返回应力更新一致的流动理论的情况，算法模量是与径向返回应力更新一致的 9 应力

20、更新算法应力更新算法半隐式向后半隐式向后Euler方法方法 半半隐隐式式向向后后Euler方方法法（Moran, 1990）是是对对于于塑塑性性参参数数采采用用隐隐式式，而而对对于于塑塑性性流流动动方方向向和和塑塑性性模模量量采采用用显显式式的的算算法法，即即在在步步骤骤结结束束时时计计算算塑塑性性参参数数的的增增量量，而而在在步步骤骤开开始始时时计计算算塑塑性性流流动动的的方方向向和和塑塑性性模模量量。为为了避免从屈服面漂移，在步骤结束时强化屈服条件。积分方法为了避免从屈服面漂移，在步骤结束时强化屈服条件。积分方法为 对比完全隐式向后对比完全隐式向后Euler方法方法 9 应力更新算法应力更

21、新算法率相关塑性的图形返回算法率相关塑性的图形返回算法 对于对于J2 塑性流动，过应力函数公式的典型例子为塑性流动，过应力函数公式的典型例子为 (n为率敏感指数为率敏感指数) 对于对于J2 流动理论，一个替代的粘塑性模型为流动理论，一个替代的粘塑性模型为 (m为率敏感指数为率敏感指数) 参考应变率参考应变率 在在过应力模型过应力模型中，等效塑性应变率取决于超过了多少屈服应力。中，等效塑性应变率取决于超过了多少屈服应力。 在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，与不能超越过屈服条在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，与不能超越过屈服条件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须

22、满足或者超过件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过屈服条件，塑性应变率（结合屈服条件，塑性应变率（结合各向同性和运动硬化）各向同性和运动硬化）给出给出为为( 背应力背应力）9 应力更新算法应力更新算法率相关塑性的图形返回算法率相关塑性的图形返回算法 框框5.11 大应变率相关塑性大应变率相关塑性 1 分解变形率张量为弹性和塑性部分的和分解变形率张量为弹性和塑性部分的和2 应力率关系应力率关系 3 塑性流动法则和演化方程塑性流动法则和演化方程 4 应力率总体变形率关系应力率总体变形率关系 过应力函数，是塑过应力函数，是塑性应变的驱动力性应变的驱动力 粘性（力粘性（力时间

23、）时间） 9 应力更新算法应力更新算法率相关塑性的图形返回算法率相关塑性的图形返回算法 率无关塑性的图形返回本构积分算法和算法切线模量可以修改为率无关塑性的图形返回本构积分算法和算法切线模量可以修改为率相关的方法，对于一个完全隐式算法，更新可以写成增量的形式率相关的方法，对于一个完全隐式算法，更新可以写成增量的形式过应力函数和粘性过应力函数和粘性 算法切线模量表达式算法切线模量表达式 大变形的逐步客观积分方法大变形的逐步客观积分方法 9 应力更新算法应力更新算法 大变形本构算法的一个重要问题是观察的材料框架相同，准确地保持本构大变形本构算法的一个重要问题是观察的材料框架相同，准确地保持本构关系

24、的客观性；在刚体转动中，该算法必须准确地计算应力的恰当转动。关系的客观性；在刚体转动中，该算法必须准确地计算应力的恰当转动。 基于基于Kirchhoff应力的应力的Jaumann率，考虑一个简单的更新算法，率，考虑一个简单的更新算法，变形率是对于时间增量的等效率并且定义如下，应力更新给出为变形率是对于时间增量的等效率并且定义如下，应力更新给出为Q是与等效旋转是与等效旋转W关联的增量转动张量。以关联的增量转动张量。以Jaumann率的形式替换本构反应率的形式替换本构反应应用不同算法计算等效变形率，基于增量变形梯度，采用直接向前方法应用不同算法计算等效变形率，基于增量变形梯度，采用直接向前方法 大

25、变形的逐步地客观积分方法大变形的逐步地客观积分方法 9 应力更新算法应力更新算法 第第二二个个关关系系来来自自框框3.2。Kirchhoff应应力力几几乎乎是是与与Cauchy应应力力等等同同的的，但但是是它它被被Jacobian行行列列式式放放大大。因因此此，也也称称它它为为权权重重Cauchy应应力力。对对于于等等体体积积运运动动，它它等等同同于于Cauchy应应力力。在在超超弹弹性性本本构构关关系系中中，它它会会自自然然提提高高，并并且且在在次次弹弹塑塑性性模模型型中中是是有有用用的的，因为它导致了对称的切线模量。因为它导致了对称的切线模量。Kirchhoff应力定义为应力定义为 大变形

26、的逐步地客观积分方法大变形的逐步地客观积分方法 9 应力更新算法应力更新算法式中式中v是关于增量的等效速度。通是关于增量的等效速度。通过过Green应变应变增量的前推定增量的前推定义义等效等效变变形率形率是位移增量是位移增量在刚体转动中等效变形率在刚体转动中等效变形率D消失，从而取得了增量客观性。等效旋转定义为消失，从而取得了增量客观性。等效旋转定义为对于次弹对于次弹塑性材料公式，采取的形式为塑性材料公式，采取的形式为 (Q为指数形式，见第为指数形式，见第9章章)速度梯度速度梯度速度梯度张量可以分解为对称部分和偏对称部分为速度梯度张量可以分解为对称部分和偏对称部分为 令令变形率变形率转动转动任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和偏对称部分的和任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和偏对称部分的和 所以所以回顾第回顾第3章章 9 应力更新算法应力更新算法