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1、12011 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理工农医类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小 题 5 分，共 50 分）1设是向量，命题“若，则= ”的逆命题是 , a bab abA若，则 B若，则ab abab ab C若，则D若=，则= -abab abab 2设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 2x A B C D28yx 28yx24yx 24yx3设函数满足,则的图像可能是( )()f x xR()( ),(2)( ),fxf xf xf x( )yf x4（xR）展开式中的常数项是 6(42 )x
2、xA-20 B15C15 D20 5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是AB28383CD822 36函数 f（x）=xcosx 在0，+）内 A没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点7设集合 M=y|y=2cosx2sinx|,xR,N=x|x1 i|2,i 为虚数单位，xR,则 MN 为A （0,1）B （0,1C0,1）D0,128右图中，1x，2x，3x为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分。当p=85 时，3x等于 126,9.xxA11 B10 C8 D79设（，） ， （，） ， （，）是变量和的个样本点，1x1y2x2ynxn
3、yxyn直线 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图） ，以l 下结论中正确的是A和的相关系数为直线 的斜率xyl B和的相关系数在 0 到 1 之间xyC当为偶数时，分布在 两侧的样本点的个数一定相同nlD直线 过点l( , )x y10甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进 行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是A B C D1 361 95 361 611设若，则= 20lg ,0, ( )3,0,ax x f xxt dt x( (1)1f fa12设,一元二次方程有正数根的充要
4、条件是= nN240xxnn13观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第个等式为 。n 14植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米。开始时 需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程 总和最小，这个最小值为 （米） 。 15 （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A （不等式选做题）若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围x12axxa是 。 B （几何证明选做题）如图，且,90BD AEBCACD o
5、，则 。6,4,12ABACADBE C （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为xoy3极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线（为参x13cos:4sinxCy 数）和曲线上，则的最小值为 。2:1CAB三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 。 16 （本小题满分 12 分）如图，在中，是上的高，沿把折ABC60 ,90 ,ABCBACADooBCADABC起，使 。90BCDo（）证明：平面 平面；（）设为的中点，求与夹角的余弦值。AEuuu rDBuuu r17 （本小题满分 12 分）如图，设 P 是圆上的动
6、点，点 D 是 P 在 x 轴上的摄影，M 为 PD 上一点，且2225xy4 5MDPD（）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被 C 所截线段的长度4 518 （本小题满分 12 分）4叙述并证明余弦定理。19 （本小题满分 12 分）如图，从点 P1（0,0）作 x 轴的垂线交于曲线 y=ex于点 Q1（0,1） ，曲线在 Q1点处的切线与 x 轴交与点 P2。再从 P2作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0） （k=1,2，n） 。kPkx（）试求与的关系（2
7、kn） ；kx1kx（）求112233.nnPQPQPQPQ20 （本小题满分 13 分） 如图，A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响， 所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10202030304040505060L1的频率0102030202L2的频率001040401现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 （）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （）用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（）的选择方案， 求 X 的分布列和数学期望。21 （本小题满
8、分 14 分）5设函数定义在上，导函数( )f x(0,)(1)0f1( ), ( )( )( ).fxg xf xfxx（）求的单调区间和最小值；( )g x（）讨论与的大小关系；( )g x1( )gx（）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；00x 01( )()g xg xx0x 0x若不存在，请说明理由6参考答案一、选择题 DBBCABCCDD 二、填空题111 123 或 4 132(1)(2)(32)(21)nnnnnL142000 15A B C3 , 33, U4 216解（）折起前是边上的高， 当 折起后，AD，AD， 又 DB， 平面，AD 平面平面 BDC平
9、面 ABD平面 BDC。（）由 及（）知 DA，DC 两两垂直，不防设=1，以 D 为坐标90DB原点，以所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得 D（0,0,0） ，,DB DC DAuuu r uuu r uuu r, ,x y zB（1,0,0） ，C（0,3,0） ，A（0,0，） ，E（，0） ，31 23 2=，AEuuu r1 3,32 2=（1，0,0,） ，DBuuu r与夹角的余弦值为AEuuu rDBuuu r，=cosAEuuu rDBuuu r1 222.22| |2214AE DB AEDBuuu r uuu r uuu ruuu r1 222 222214 1
10、7解：（）设 M 的坐标为（x,y）P 的坐标为（xp,yp）由已知得, 5,4xpxypyP 在圆上， ，即 C 的方程为2 25254xy22 12516xy（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，4 5435yx7设直线与 C 的交点为1122,A x yB xy将直线方程代入 C 的方程，得435yx即22312525xx2380xx 线段 AB 的长度为12341341,22xx222 12121216414114125255ABxxyyxx注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。 18解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们
11、夹角的余弦之 积的两倍。或：在ABC 中，a,b,c 为 A,B,C 的对边，有2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC证法一 如图2aBCBCuuu v uuu v() ()ACABACABuuu vuuu vuuu vuuu v222ACACABABuuu vuuu v uuu vuuu v222cosbbcAc即2222cosabcbcA同理可证2222cosbacacB2222coscababC证法二 已知ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则,( cos , sin), (
12、,0)C bA bA B c2222( cos)( sin)aBCbAcbA222ACACAB COSAABuuu vuuu vuuu vuuu v822222cos2cossinbAbcAcbA2222cosbacacB同理可证2222222cos ,2cos .bcacaBcababC19解（）设，由得点处切线方程为11(,0)kkPxxye 1 11(,)kx kkQxe 11 1(),kkxx kyeexx 由得。0y 11(2)kkxxkn（ ），得，110,1kkxxx (1)kxk 所以于是，(1)kxk kkPQee112233.nnnSPQPQPQPQ1 12(1) 111.
13、11nn neeeeeeee 20解（）Ai表示事件“甲选择路径 Li时，40 分钟内赶到火车站” ，Bi表示事件“乙选择路径 Li时，50 分钟内赶到火车站” ，i=1,2用频率估计相应的概率可得 P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲应选择 LiQP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09，P（B2） P（B1）, 乙应选择 L2Q（）A,B 分别表示针对（）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知,又由题意知，A,B 独立，( )0.6, ( )0.9P AP B(0)()( ) (
14、 )0.4 0.10.04P XP ABP A P Buuu ru ru r(1)()( ) ( )( ) ( )P XP ABABP A P BP A P Bu ru ru ru r0.4 0.90.6 0.10.42(2)()( ) ( )0.6 0.90.54P XP ABP A P B的分布列为XX012P0040420540 0.04 1 0.422 0.541.5.EX 921解 （）由题设易知，( )lnf xx1( )lng xxx，令得，21( )xg xx( )0g x 1x 当时，故（0,1）是的单调减区间，(0,1)x( )0g x ( )g x当时，故是的单调增区间，(1,)x( )0g x (1,)( )g x因此，是的唯一极值点，
