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1、ABCO（最新最全）（最新最全）20122012 年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理） 第三十一章第三十一章 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 A A 31.1 直线与圆的位置关系 （20122012 山东省荷泽市，山东省荷泽市，1111，3 3）如图，PA、PB 是o 的切线，A、B 为切点，AC 是o 的直 径，若P=46，则BAC=_.【解析】因为 PA、PB 是o 的切线，所以 PA=PB，OAPA，又因P=46，所以 PAB=67，所以BAC=OAP-PAB=90-67=23， 【答案】23 【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可
2、以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰 三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.（20122012 连云港，连云港，1414，3 3 分）分）如图，圆周角BAC=55，分别过 B、C 两点作O 的切线，两 切线相交于点 P，则BPC= 。OPBAC【解析】连结 OB，OC，则 OBPB，OCPC。则BOC=110，在四边形 PBOC 中，根据四边 形的内角和为 360，可得BPC=70。 【答案】70 【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。（20122012 湖南湘潭，湖南湘潭，1414，3 3 分）分）如图，的一边是O 的直径，请你添加一个条件，ABCAB 使是O 的切
3、线,你所添加的条件为 .BC【解析】根据切线的定义来判断，BCAB，或ABC=900。 【答案】BCAB，或ABC=900。 【点评】此题考查切线的定义。圆的切线垂直于过切点的半径。（20122012 浙江丽水浙江丽水 8 8 分，分，2020 题）题）如图，AB 为O 的直径，EF 切O 于点 D，过点 B 作 BHEF 于点 H，交O 于点 C，连接 BD. （1）求证：BD 平分ABH； （2）如果 AB=12，BC=8，求圆心 O 到 BC 的距离.第 14 题图【解析：】 （1）欲证 BD 平分ABH，只需证OBD=DBH.连接 OD，则OBD=ODB，为止 只需证ODB=DBH 即
4、可.（2）过点 O 作 OGBC 于点 G，在 RtOBG 中，利用勾股定理即 可求得 OG 的值. 【解】：（1）证明：连接 OD. EF 是O 的切线，ODEF. 又BHEF，ODBH， ODB=DBH. 而 OD=OB，ODB=OBD， OBD=DBH， BD 平分ABH. （2）过点 O 作 OGBC 于点 G，则 BG=CG=4，在 RtOBG 中，OG=.52462222 BGOB 【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解 问题.（20122012 福州，福州，2020，满分，满分 1212 分）分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，
5、AD 和过 C 点的切 线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E。 （1）求证：AC 平分DAB；（2）若B=60，CD=，求 AE 的长。2 3解析：（1）由 CD 是O 的切线，C 是切点，故优先考虑连接 OC，则 OCCD，ADOC，因 此易证 AC 平分DAB；（2）由B=60，可联想到 30的直角三角形及用解直角三角形的方法求出 AE，由B=60，可得1=3=30，因为 CD=，因此可得 AC=，从2 34 3 而可求得 AB 的长，连接 OE，易知OEA 是等边三角形，故可求得 AE 的长，本题还可连接 CE、AB 等来求出 AE。 答案：（1）证明：如图 1，连接 OC，CD
6、 为O 的切线 OCCD OCD=90 ADCD ADC=90OCD+ADC=180 ADOC 1=2 OA=OC 2=3 1=3 即 AC 平分DAB。 （2）解法一：如图 2AB 为O 的直径 ACB=90 又B=60 1=3=30 在 RtACD 中，CD=2 3AC=2CD=4 3在 RtABC 中，AC=4 304 38coscos30ACABCAB 连接 OE EAO=23=60，OA=OE EAO 是等边三角形AE=OA=4.1 2AB解法二：如图 3，连接 CEAB 为O 的直径 ACB=90 又B=60 1=3=30 在 RtACD 中，CD=2 302 36tantan30
7、CDADDAC 四边形 ABCE 是O 的内接四边形 B+AEC=180 又AEC+DEC=180 DEC=B=60在 RtCDE 中，CD=2 302 32tantan60DCDEDEC AE=AD-DE=4. 点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质， 等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综 合性，难度中等。（20122012 贵州铜仁，贵州铜仁，2323，1212 分）分）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E， ABCD，O 的切线 BF 与弦 AD 的延长 线相交于点 F （1）求证：CD B
8、F； （2）若O 的半径为 5， cosBCD=54，求线段 AD 的长【分析】 （1）由 BF 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径，根据切线的性质，可得到 BFAB， 然后利用平行线的判定得出 CDBF （2）由 AB 是圆 O 的直径，得到ADB=90 ，由圆周角定理得出BAD=BCD，再根据三角函数 cosBAD= cosBCD=54=AD AB即可求出 AD 的长【解析】 （1）证明：BF 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径BFABCDABCDBF（2）解：AB 是圆 O 的直径ADB=90 圆 O 的半径 5AB=10BAD=BCD cosBAD= cosBCD=4 5=
9、AD AB1054cosABBADAD=8 AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个 特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客， 不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考 中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、 圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理 解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点. 23 题图(2012(2012 湖北随州，湖北随州，2323，1010 分分) ) 如图，已知直角梯形
10、ABCD，B=90，ADBC，并且 AD+BC=CD，O 为 AB 的中点. （1）求证：以 AB 为直径的O 与斜腰 CD 相切； （2）若 OC=8cm，OD=6cm，求 CD 的长.解析:（1）过 AB 的中点 O 作 OECD 于 E.证明 OE 的长等于半径即可.（2）证明 COD=900，运用勾股定理求值. 答案:证明： 过 AB 的中点 O 作 OECD 于 E. S梯形 ABCD=(AD+BC) AB=(AD+BC) OA21=2(ADOA+BCOB)21 21=2(SOAD +SOBC) 由 S梯形 ABCD =SOBC+ SOAD+ SOCD SOBC+ SOAD=SOCD
11、ADOA+BCOA=CDOE21 21 21(AD+BC) OA=CDOE 又 AD+BC=CD 21 21OA=OE,E 点在以 AB 为直径的O 上，又 OECD CD 是O 的切线 即：CD 与O 相切 5 分（2）DA、DE 均为O 的切线，DA=DE，则1=2，同理3=4. COD=900.CD= 5 分)(10862222cmOCOD 点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出 辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明 AD+BC=CD 很巧妙.难度较大.（20122012 四川成都，四川成都，2727，1010 分）分）如图，AB 是O
12、的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一 点 E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）求证：KE=GE；（2）若=KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；2KG（3） 在（2）的条件下，若 sinE=，AK=，求 FG 的长3 52 3解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK=EKG，然后根据等角对等边，即可证 明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形 相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用 方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求 FG
13、的长。 答案：（1）如下图，连接 OG， EG 是O 的切线 OGGE OGK+EGK90 CDAB OAG+AKH90 OG=OA OGK=OAG EGK=AKH=EKG KE=GE； （2）ACEF 理由如下：=KDGE，GE=KE2KGKGKE KDKGKGDKGE KGDE KGDC EC ACEF （3）在（2）的条件下， ACEF CAFF，ECsinE=3 5sinC=,sinF=,tanE=tanC=3 54 53 4 连接 BG，过 G 作 GNAB 于 N，交O 于 Q 则弧 BQ=弧 BG BGNBAG 设 AH=3k，则 CH=4k于是 BH=，OG=221616=33
14、CHkk AHk+25=26BH AHkEG 是切线，CDAB OGF90 FOG+F=E+FFOG=ENG=OGsinFOG=253 65k5 2kBN=OB-ON=OG-OGcosFOG=25451-=656kk BG=22510+=6kNGBNcosBAG=cosBGN=5 3 1032=105 102 3 6k BNk GBk30=5kFG=5 25 2 305 302=4sin8108 5k NG FQN点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个 小题比较基础，同学们应争取做对。（20122012 江苏泰州市，江苏泰州市，2727，本题满分，本题满分 1212 分）分）如图，已知直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，OA=5，OA 与O 相交于点 P，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C. （1）试判断线段 AB 与 AC 的数量关系，并说明理由；（2）若 PC=2，求O 的半径和线段 PB 的长；5 （3）若在O 上存在点 Q，使QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，求O 的半径 r 的取值 范围.ll ACPAOOB（第 27 题图） （备用图） 【解析】 （1）由于 AB 是O 的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等
