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1、必修 2 2.2 直线与平面垂直的判定性质练习（一） 学号 姓名 主要知识:直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定文字语言（1）线面垂直的定义：如果一条）线面垂直的定义：如果一条 直线与一个平面内任何一条直线都都垂直线与一个平面内任何一条直线都都垂 直，那么这条直线就与这个平面相互垂直，那么这条直线就与这个平面相互垂 直。直。 （2）线面垂直的判定定理：如果）线面垂直的判定定理：如果 一条直线垂直于平面内的两条相交直线，一条直线垂直于平面内的两条相交直线， 那么这条直线就垂直于这个平面。那么这条直线就垂直于这个平面。(1)(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所定义法：两个平面相交，如果它们
2、所成的二面角是直二面角，就说这两个平面成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直互相垂直. .(2)(2) 面面垂直的判定定理：面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直则这两个平面互相垂直 图形语言符号语言二性质表述：必修 2 2.2 直线、平面垂直的性质练习主要知识:直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行么这两条直线平行一条直线一条直线 l 和一个平面和一个平面 平行求证：平行求证：直线直线 l 上各点到平面上各点到平面 的距离相
3、等的距离相等1. 两平面垂直的性质定理）：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2. 如果两个平面互相垂直，那么在一如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另一个平面直于另一个平面. .图形语言A D B O C 符号语言二习题巩固二习题巩固1、如图，AB 是O 的直径，PA 垂直O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一 点，求证：平面 PAC平面 PBC。变式训练： 2 中的四面体 P-ABC 中，哪些平面互相垂直？ （注意与 69 页探究题目对比）跟踪练习：如图，在三棱锥 P-ABC 中，已
4、知 PAPB，PBPC，PCPA，求证：平面 PAB平面 PBC，平面 PBC平面 PCA，平面 PCA平面 PAB。3. 如图 2，是ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平面PPBC求证：BC平面 PAC 证明：在平面 PAC 内作 ADPC 交 PC 于 D因为平面 PAC平面 PBC，且两平面交于 PC，平面 PAC，且 ADPC， 由面面垂直的性质，得 AD平面 PBC 又AD 平面 PBC，ADBCBC PA平面 ABC，平面 ABC，PABC BC ADPA=A，BC平面 PAC 4. 空间四边形 ABCD 中，若 ABCD，BCAD，求证：ACBD证明：过
5、 A 作 AO平面 BCD 于 OQ AB CDCD BO，同理 BCDO O 为ABC 的垂心 于是BD COBD ACD1 C1 A1 B1 D C A B 5. 如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交SAASC 于求证：，SBSCSD平平EFG平平AESBAGSD证明：平面ABCD，SA，平面SAB又平面SABCABBCBC AE SAB，平面AEFG，平面BCAESC SCAEAE SBC同理可证AESBAGSD 6. 如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD证明：取AB的中点，连结CF，DF， ACBC
6、CFAB，ADBDDFAB又，平面CDFCFDFFIAB 平面CDF，CD CDAB又， CDBEBEABBI平面ABE，CD CDAH，AHCDAHBECDBEEI 平面BCDAH 7. 如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，ABPA 是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，ACBC平面ABC，平面ABC，PA BC 平面APCPABCBC 平面PBC， BC 平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBCAE 8. 证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1C平面 BC1D证明
7、：连结 ACQ BD ACAC 为 A1C 在平面 AC 上的射影 BD A CA C BCA CBC D11111同理可证平面P N D C A B M P E N D C A B M ABCPEF PCAFBCAFPACAFPACBCBCACABBCPABCPA面面为直径9. 如图，PA平面 ABCD，ABCD 是矩形，M、N 分别是 AB、PC 的中点，求证：MN AB. 证：取 PD 中点 E，则ENDC/1 2 ENAM/ AEMN/ /又平面平面平面Q CD ADPAACCDPADAEPAD CD AE CDAB AEMNMN AB/ / / /10. 以 AB 为直径的圆在平面内
8、，PA于 A，C 在圆上，连 PB、PC 过 A 作 AEPB 于E，AFPC 于 F，试判断图中还有几组线面垂直。解： PBPBAEPBAFPBCAF面面 AEF 11在两个互相垂直的平面的交线上，有两点 A、B，AC 和 BD 分别是这两个平面内垂直 于 AB 的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则 C、D 间距离为_ 【解析】如图，CD=22ADCA =222BDABCA=2222486=676=26【答案】26 12.如图 940，在三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC图 940 （1）求证：ABBC；（2）若设二面角 SBCA 为 45，SA=BC，求
9、二面角 ASC B 的大小 （1） 【证明】作 AHSB 于 H，平面 SAB平面 SBC平面 SAB平面 SBC=SB，AH平面 SBC， 又 SA平面 ABC，SABC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB，BCSB，又 SASB=S， BC平面 SABBCAB （2） 【解】SA平面 ABC，平面 SAB平面 ABC，又平面 SAB平面 SBC，SBA 为二面角 SBCA 的平面角， SBA=45设 SA=AB=BC=a， 作 AESC 于 E，连 EH，则 EHSC，AEH 为二面角 ASCB 的平面角，而 AH=22a，AC=2a，SC=3a，AE=36asinAEH=23，二
10、面角 ASCB 为 60 13.如图 941，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，PA=AD=a，M、N 分别是 AB、PC 的中点（1）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面 MND平面 PCD （1） 【解】PA平面 ABCD，CDAD， PDCD，故PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角，在 RtPAD 中， PA=AD， PDA=45（2） 【证明】取 PD 中点 E，连结 EN，EA，则 EN 21CD AM，四边形 ENMA 是 平行四边形，EAMN AEPD，AECD，AE平面 PCD，从而 MN平面 PCD，MN平
11、面 MND， 平面 MND平面 PCD 14.如图 942，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点图 942 （1）求证：平面 MNF平面 ENF （2）求二面角 MEFN 的平面角的正切值（1） 【证明】M、N、E 是中点，MCNCNBEB1111 45MNCENB1190MNE即 MNEN，又 NF平面 A1C1，11CAMN平平MNNF，从而 MN平面 ENFMN 平面 MNF， 平面 MNF平面 ENF （2） 【解】过 N 作 NHEF 于 H，连结 MHMN平面 ENF，NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影， 由三垂
12、线定理得 MHEF，MHN 是二面角 MEFN 的平面角在 RtMNH 中，求得 MN=22a，NH=33a，tanMHN=26NHMN，即二面角 MEFN 的平面角的正切值为2615如图 944，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2，侧棱与底面成3的角，侧 面 ABB1A1垂直于底面，图 944 （1）证明：B1CC1A （2）求四棱锥 BACC1A1的体积 （1） 【证明】过 B1作 B1OAB 于 O，面 ABB1A1底面 ABC，面ABABCAABB11平IB1O面 ABC，B1BA 是侧棱与底面所成角，B1BA=3， 又各棱长均为 2，O 为 AB 的中点，连 CO，则
13、COAB，而 OB1CO=O， AB平面 B1OC，又 B1C平面 OB1C，B1CAB，连 BC1，BCC1B1为边长为 2 的 菱形，B1CBC1，而 ABBC1=B， B1C面 ABC1A1C面 ABC1B1CAC1（2） 【解】在 RtBB1O 中，BB1=2，BO=1，B1O=3，V柱=Sh=4343=3，111CBABV=31V柱=1，CCAABV 11=V柱111CBABV=31=2 16如图 945，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PA底面 ABCD，E 为 AB 的中点，且 PA=AB图 945 （1）求证：平面 PCE平面 PCD； （1） 【证明】PA平
14、面 ABCD，AD 是 PD 在底面上的射影， 又四边形 ABCD 为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面 PAD，PDA 为二面角 PCDB 的平面角， PA=PB=AD，PAADPDA=45，取 RtPAD 斜边 PD 的中点 F，则 AFPD，AF 面 PAD CDAF，又 PDCD=DAF平面 PCD，取 PC 的中点 G，连 GF、AG、EG，则 GF 21CD 又AE 21CD，GF AE四边形 AGEF 为平行四边形AFEG，EG平面 PDC 又 EG 平面 PEC， 平面 PEC平面 PCD 17如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA平面 ABC （1）求证：平面 PAC平面 PBC； （2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各 对平面（1） 【证明】C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点，AB 是圆
