《定积分在数学上的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分在数学上的应用（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 编号编号 学学士士学学位位论论文文定积分在数学上的应用定积分在数学上的应用学生姓名： 学 号： 系 部： 专 业： 年 级： 指导教师： 完成日期： 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS摘要定积分在各门学科中的应用极为广泛限于知识层次和篇幅，它是从大量的实际问题中抽象出来的在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，该论文由定积分理论来分析和解决一些数学应用作较全面的讨论。本文首先提出了曲面梯形面积的计算方法，然后在这个基础上提出求平面上任何图形面积的计算公式，最后用微元法来解决计算体积与旋转体的侧面积问题，利用定积分概念讨论求曲线弧长的方法，还有论文中提到了定积分
2、在计算极限与证明不等式方面的应用。关键词：关键词：曲边梯形,微元,面积,弧长,极限,旋转体, 体积，积分，积分中值定理。学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS2目 录摘要摘要.1引言引言.31.1. 定积分在几何方面的应用定积分在几何方面的应用.31.1 利用定积分求平面图形的面积.3 1.1.1 曲边梯形的面积.31.1.2 平面直角坐标系下的平面图形的面积.21.1.3 由参数方程给出的平面直角坐标系下的平面图形的面积.31.1.4 极坐标方程所表示平面图形的面积.51.2 利用定积分求平面曲线的弧长.6 1.2.1 参数方程所表曲线的弧长.61.2.2 直角
3、坐标系中的弧长.81.2.3 极坐标系中的弧长.91.3 利用定积分求体积.10 1.3.1 由平行载面面积求体积.101.3.2 旋转体的体积.111.4 旋转曲面的面积.12 1.4.1 微元法.121.4.2 旋转曲面的面积.132.2. 定积分在其它方面的应用定积分在其它方面的应用.152.2 利用定积分求极限.15 2.2.1 利用定积分求数列极限.152.2.2 利用定积分求函数极限.162.2.3 利用定积分证明不等式.17总结总结.20参考文献参考文献.21致谢致谢.22学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS1引言不定积分是微分法逆运算的一个侧面，
4、该论文介绍的定积分则是它的另一 个侧面，定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，因此求曲边梯形的面 积，曲面围成的几何体的体积，计算弧长和一些数列极限问题等等，最后都化 为积分问题来解决因此计算这些问题因该说是定积分的本职工作。1.定积分在几何方面的应用由于定积分解决问题的特殊能力它有多种多样的应用，下面我们介绍一下 在几何中有关方面的应用。1.11.1 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形的面积1.1.1 曲边梯形的面积定义定义 1 设为闭区间上的连续函数，且 )(xf, a b，由曲线，直线， ( )0f x ( )yf xxaxb以及轴所围成的面图形（图 1）成为曲边梯形。x
5、在区间内任取个分点，它们依次为 , a b1n， （图 1）0121nnaxxxxxb这些点把分割成个小区间，。在用直线, a bn1iixx，1,2,.,in把曲边梯形分割成个小曲边梯形（图 2）在每,1,2,.,1ixx inn个小区间上任取一点，作以为高，为底的小矩形，当1iixx，i( )if1iixx，分割的分点较多，又分割得较细密时,由于为连续函数,它在每个小区, a b( )f x学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS2间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积 近似替代相应的小区边梯形的面积,于是这个n 矩形面积之和就可作为该曲边梯形的面积的S 近
6、似值，即 1( )nii iSfx1()iiixxx设 J 是一个确定的实数。若对任给的正数， 总存在某一正数，使得对的任何分割 T， （图 2） , a b以及在某上任意选取的点集，只要,就有 iT1 1()nii ifxJ 数 J 称为在上的定积分，记作f, a b01lim( )( )nbiiaTiJfxf x dx 因此，有定义可得了连续曲线在上形成的曲边梯形的面积0yf x（）, a b（公式 1）( )baSf x dx若,则1( )f x2( )fx学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS312( )( )baAf xfx dx因此两条连续曲线，以及两
7、条1( )yf x2( )yfx直线， ()所围成图形的面积 (图3）xaxbab12( )( )baAf xfx dx证证: 如图所示，有曲边梯形的面积公式（1）可知ABC，1( )baBf x dx2( )baCfx dx21( )( )bbaaACBfx dxf x dx21( )( )baAfxf x dx例例1: 求抛物线与所围图形的面积。2yx22yx解：解：如图4所示，记与所围图形的面2yx22yx积为A,与的交点为（1，1） ， （-1，1）2yx22yx=1221(2)Axxdx 12122x dx =4-=1312 3x8 3（图 4）1.1.3 由参数方程给出的平面直角坐
8、标系下的平面图形的面积定理定理 设曲线C由参数方程：， xx t( )yy t,t 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS4给出,且 （1），在上连续 x t( )y t, （2）可微且则曲线C及 x t 0x t直线，和轴所谓图形（如图5） ，xaxbx其面积计算公式：（图5） ( ) ( )Ay t x t dt证：证：设,此时，有反函数，则曲线C可以 0x t xx t( )tt x( )0t x写成：，且直线，与曲线C只( )yy t x( ), ( )xxx 0xx0, 能有一个交点，则()()( )xxAy t xdx( )( )( )t xux u
9、tx t( )( )y tx t dt例例2：求参数方程，所围图形的面积。22xtt232ytt解：解：t可以去任意值，我们不能盲目的进行积分, 先分析曲线的大致形状. ,22(2)xtttt2322(2)ytttt则时,.图像过点0,2t 0xy（0, 0）00时，,0x y 0,0xyt0时， 0,0xy与表明:图像在区域内有两支: (图6) 0x , lim ty lim ty , lim tx lim tx 所求面积为 20( )( )Sy tx t dt2110( )( )( )( )y tx t dty tx t dt21232310(2)2(1)(2)2(1)ttt dtttt dt 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS522302(2)(1)ttt dt 8 151.1.4 极坐标方程所表示平面图形的面积设曲线C由极坐标方程,给出,其中在上连续,( )rr, ( )rr, .由曲线C与两条射线2, 所围成的平面图形，通常也称为扇形（如图7） 。 此扇形的面积计算公式为(图7)21( )2Ard证：证： 这仍可由定积分的基本思想而得，如图8所示,对区间作任意分割, 011:nnT射线（）把扇形分成个小扇形，i1,2,.,1inn在每一个上的值变化也很小。任取1,iii ( )r，便有 ii( )( ),1
