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1、-1-浅谈求函数值域常用的方法与技巧浅谈求函数值域常用的方法与技巧单位：湖南省衡阳市衡钢中学 作者：周鹏函数的值域即函数值的集合，它是由定义域及对应法则决定的。求函数的值域是一个较复杂的的问题，也是很重要的问题，它和求函数的最值紧密相连，在历届高考中经常出现应引起重视。首先要明确其定义域，由定义域通过对应法则求其最值。求函数值域常用的方法较多，技巧性也很强，本文通过典型的例子来闸述求函数值域常用的方法与技巧。一 观察法（1）直接由解析式观察确定。例 1 求下列函数的值域（1） (2) (3) (4)解：(2)画图象，观察图象的最高点和最低点。二 列举法这种方法适合于定义在有限集上的函数，将函数
2、值全部算出，用列举法写出其值域。列举时应注意集合中元素的互异性，重复的函数值只列一次。例 2 求函数解：函数的值域为1，2，5。三 转移法题设中隐含着不等关系，巧妙地转移为与 y 有关的不等式，进而解不等式。y = 4 xy =5+x+3 y = 1 x2+2y =4- x2 1 y0 (2) y 5,+) (3)0 y1 2(4)0y 2 f(x) = x2+1 , x -2,-1,0,1,2 f(-2) = 5,f(-1) = 2,f(0) = 1,f(1) = 2, f(2) = 5 3 y =1+sinx 2+cosx sinx - ycosx = 2 y-1sin (x-) = 2y
3、-11+y2( tan = y )2y-11+y210y4 3-2-四 反函数法用函数和它反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。形如 的函数值域可用此法。解：因为函数五 配方法二次函数转化为形如 类的函数的值域问题，均可用配方法，但要注意 的范围。例 5 求解：六 不等式法利用基本不等式求某些函数的值域要注意：不等式成立的条件；有定值；能否取到“=”，三个条件缺一不可。例 6 求解：原函数式化为当且仅当当y = cx +d ax+b(a0) 4 y = x 2x+1 y = x 2x+1 y = x 1-2 x, xx1 2, x R yy1 2, y R F(x
4、) = af 2(x)+bf(x)+cf(x)y = - x2+2x+2 y = -( x-1)2+3 u = -( x-1 )2+3,y = u , y0,u3 y3 03y = log3x+logx3-1 y = log3x+1 log3x-1 x 1 log3x 0, y2log3x.1 log3x-1 = 1log3x = 1 log3xlog3x = 1 x = 3 0 x 1 log3x 0 -log3x 0y = l0g3x+1 log3x-1 =-(-log3x-1 log3x)-1yy-3y1-3-2(- log3x).(- 1 log3x) -1=-3综上可知，函数的值域为
5、七 换元法运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。这种方法适合于 形式的函数求值域。例 7 求解：令是关于 t 的二次函数的递减区间，当函数的值域为对于形如 的函数，可利用三角换元，令或令例 8 求函数解：由令则值域为评注：在运用换元法求值域时，必须关注中间变量的取值范围。y = 2 x-1-13-4 x t = 13-4 x ,t0 ,x = 13- t24y = ax+b+ cx +dy = 2.13- t24-1-t = -1 2t2- t+11 2= -1 2(t2+2t)+11 2= -1 2(t+1)2+6 t 0 ,+t 0 ,+ yma
6、x = 11 2 - 11 2a2- x2x = acos , 0, x = asin ,- 2, 2y = x+ 1- x2 1- x20, -1x1x = sin , - 2+2k, 2+2k , k zy = x+ 1- x2 y = sin + cos = 2 sin ( + 4), - 2+2k, 2+2k , k zymax = 2 ,( = 4+2 k ,K Z)ymin = -1 ,( = - 2+2k ,K Z) -12 F(x,y) = 0,y = a1x2+b 1x+c1 a2x2+b 2x+c2(a1;a2 ) -4-八 判别式法把函数转化为关于 x 的二次方程 通过函
7、数定义域是非空数集，则方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域。形如但要注意二次项系数不为零，当二次项系数为零时，验证是否有 x 存在，找回 y 值。例 9 求 的值域解：由原式得解得九 函数性质法当一个函数可确定单调性时，利用单调性可求其值域。例 10解：因为函数在其定义域十 分离常数法这种方法适合于形如 的函数求值域，把分子变形出现分母的式子，相除分离常数。例 11 求函数 的值域解：yx2+(3 y-1 )x+6y-2 = 0 y0 = (3 y-1 )2-4 y(6 y-2 )0,- 1 5 y1 3 y = 0 x = -2 x -1 51 3 y = 2 x-1-13-4 x (
8、- , 13 4 x13 4 ymax = 213 4-1 = 11 2, -11 2y = ax2+bx +cpx2+qx +d y = 2x2+4x-7x2+2x+3y = 2x2+4x-7x2+2x+3= 2x2+4x+6-13x2+2x+3= 2 x2+2x+3) -13x2+2x+3= 2- 13 (x+1)2+2 (x+1)2+22,13 (x+1)2+2 (0,13 2y -9 2,2 -9 2 2 y = x 2x+1 y = x 2x+1=x+1 2- 1 22(x+1 2)= 1 2-1 2 2x+11 2(2 x+1)0 , yy1 2 , y Ryx+2 x2+3x+6
9、解：-5-例 12 求评注：用这种方法求值域运算简单，但技巧性强，不易想到，应认真体会，注意掌握。十一 数形结合法当要求的解析式明显具备某种几何意义时，像两点间的距离公式，直线斜率、直线在坐标轴上的截距等等，可利用其几何意义来求其值域。例 13 求 y解：可看作点（2 ，0）与圆结合图象：例 14 求函数sinx 2- cosx y = sinx 2- cosx= -0- sinx 2- cosxx2+y2 = 1 kAM = 3 3, kAN = - 3 3y -3 3, 3 3 y =(x-3 )2+x2+ (x-4 )2+(x-1 )2 + (x-4 )2+(x-1 )2P x , x
10、A 3 0 B(4 ,1)ymin = AB = 25 B B y = x B(1,4)y = 2 x -3+13-4 x y= 2(1-1 13-4 x) oyxA(2,0 )NM1距离之和，从而问题转化为-6-解：因 y=(x-3 )2+(x-0 )2可看作动点在直线 y=x 上求一点到 A、B 距离之和最小，利用对称关系可知十二 求导法利用导函数求函数的最值，进而得到函数的值域。例 15 求解法一： 由于函数的定义域为（- ，13 4，又故当 x=3 时，y 有极大值 4，而 f ( 13 4)=7 2所以函数的最大值为 4，函数的值域为（-，4解二法（换元法）令 t=13-4 x,则
11、t0,+）,故函数的值域为（-，4十三 非负数性质法这种方法适合于简单分式函数求值域，特别是分子、分母只有二次项、常数项时，用此法较好。例 16 求函数解：由 得-1y1,故函数的值域为（-1，1。十四 图象法x 3 y 0 3x13 4 y 0,x = 3 y= 0,x = 13- t24,y = 13- t22-3+ t = -1 2(t-1 )2+44,y = 1- x21+x2 y = 1- x21+x2 y+yx2 = 1- x2, x2 = 1- y 1+yx20,1- y 1+y0,y-1 1+y0,(y+1)(y-1 )0,y+10,y y x-1+x+2 y-2 x-1( x
12、2)3 (-2x1) 2x+1 ( x 1 ) 3,+ y ax2+bx +c(a 0 ) m,n f(x) m,n 0 123-1-2-3123yxx0 = -b 2a m,nx0 m,n f(x0) = 4ac- b24a, f(m) f(n) 十五 利用二次函数-7-这种方法适合于带绝对值符号的函数求值域例 17 求函数解：利用零点分段法去绝对值号。（1）图象法：根据函数的图象，即可确定（2）计算判断法：先判断A:若即即B:若C:若例 18 已知函数f(x) m,n m n b -2 a y 4ac- b24a, fmax x0 m,n ,b -2 a m, f(x) m,n f(m), f(n), y f(m), f(n) .x0 m,n ,b -2 a n, f(x) m,n f(m), f(n).f(x) x2-2 x-3( 1)x -2,0 , f(x) 2 2 4 f(x) 3 x 1 2,5 2 , f(x) 4 x -1 2,3 2 , f(x) x -2 ,0 f(x)max = f(-2) =5, f(x)min = f(0) =
