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1、第 1 页（共 6 页）彗星太阳PF2F1椭圆及其标准方程教学目的：1理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3能由椭圆定义推导椭圆的方程4启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点： 椭圆的定义和标准方程教学难点： 椭圆标准方程的推导教学过程 ：一、复习引入：11997 年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997 年 2 月中旬起 , 海尔波普彗星将逐渐接近地球，过4 月以后 , 又将渐渐离去, 并预测3000 年后 ,它还将光临地球上
2、空 1997 年 2 月至 3 月间 , 许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）2. 复习求轨迹方程的基本步骤：3手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21, FF两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（ 2）在这个运
3、动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）二、讲解新课：1椭圆定义 ：平面内与两个定点21, FF的距离之和等于常数（大于|21FF）的点的轨迹叫作 椭圆 ，这两个定点叫做椭圆 的 焦点 ，两 焦点 间的距离叫做椭圆的焦距注意 : 椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点 - 两点间距离确定第 2 页（共 6 页）（2）绳长 - 轨迹上任意点到两定点距离和确定思考： 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关( 为下
4、面 离心率 概念作铺垫 )2. 根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,FF的直线为x 轴，线段21FF的垂直平分线为y轴设),(yxP为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c2（0c）. 则)0,(),0,(21cFcF，又设 M与21,FF距离之和等于a2(ca22) （常数）aPFPFPP221221)(ycxPF又，aycxycx2)()(2222，化简，得)()(22222222caayaxca，由定义ca22,022ca令222bca代入，得222222bayaxb，两边同除22ba得12222byax此即为 椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21cFc
5、F，中心在坐标原点的椭圆方程其中222bca注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如 果 椭圆 的焦 点 在y轴 上（ 选取 方 式不 同， 调 换yx,轴 ）焦 点则 变 成),0(),0(21cFcF, 只要将方程12222byax中的yx,调换，即可得PF2F1xOy第 3 页（共 6 页）12222bxay，也是 椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222byax与12222bxay这 两 个 标 准 方 程 中 ， 都 有0ba的 要 求 ， 如 方 程),0,0(122nmnm nymx就不能肯定焦点在哪个轴上；分
6、清两种形式的标准方程， 可与直线截距式1 byax类比， 如12222byax中，由于ba，所以在 x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上 (即看22, yx分母的大小 ) 三、讲解范例：例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、 （4，0） ，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；两个焦点坐标分别是（0， 2）和（ 0,2 ）且过（ 23, 25）解： （1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222byax )0(ba9454,582,10222222cabcaca所以所求椭圆标准方程为1 92522yx因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
7、标准方程为12222bxay )0(baPF2F1xOy第 4 页（共 6 页）由椭圆的定义知，22)2 25() 23(2a22)2 25() 23(10 2110 2310210a又2c6410222cab所以所求标准方程为1 61022xy另法：42222acab可设所求方程1 42222axay，后将点 （ 23, 25）的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程点评：题（）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、 （0，4）其结果如何；题（）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件
8、，用待定系数的办法得出方程四、课堂练习：1椭圆1 92522yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5 B.6 C.4 D.10 2. 椭圆1 1692522yx的焦点坐标是（）A.( 5， 0) B.(0， 5) C.(0 ， 12) D.(12，0) 3. 已知椭圆的方程为1 8222myx，焦点在 x 轴上，则其焦距为（）A.228m B.2m22第 5 页（共 6 页）C.282mD.222m4.1,6 ca, 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是5. 方程1) 42sin(322yx表示椭圆，则的取值范围是（）. 838.kkk( 838 ）. 838 . kkk
9、( 832 82 ）参考答案：1.A2.C3.A4.1 353622xy5. 五、小结： 本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点: 椭圆的定义中, 022ca； 椭圆的标准方程中, 焦点的位置看x ,y的分母大小来确定； a 、b、 c 的几何意义六、课后作业：1判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出cba,的值1 2222yx；1 2422yx；1 2422yx；369422xy答案： 表示园；是椭圆2,2,2cba；不是椭圆（是双曲线）；369422xy可以表示为1 322222yx，是椭圆，5,2,3cba2椭圆1 91622yx的焦距是，焦点坐标为；若 CD 为过左焦点1F
10、的弦，则CDF2的周长为第 6 页（共 6 页）答案：164);0,7(),0,7(;72221aFFc3 方程1422kyx的曲线是焦点在y上的椭圆，求k的取值范围答案：40k4化简方程：10)3()3(2222yxyx答案：1 251622yx5椭圆1 3610022yx上一点P 到焦点F1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F2的距离是答案： 46动点 P 到两定点1F(-4,0)，2F(4,0)的距离的和是8，则动点 P 的轨迹为_ 答案： 是线段21FF，即)44(0xy写出适合下列条件的椭圆的标准方程:( 口答 ) (1)a=4,b=3,焦点在 x轴； (2)a=5,c=2,焦点在 y轴上 . （答案：1 9y16x22 ；1 21x25y22 ）(2) 已知三角形 ABC 的一边长为 6,周长为 16,求顶点 A的轨迹方程解：以 BC边为 x轴， BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：1 16y25x22若以 BC边为 y轴， BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：1 25y16x22
