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1、1高等代数教学大纲一、课程基本信息课程编号：09020701002B课程中文名称高等代数课程英文名称Advanced algebra 课程类别专业基础课适用专业计算、应数开课学期第二学期总 学 时56 学时总 学 分3.5先修课程数学分析，高等代数，空间解析几何课程简介本课程是理学院数学与应用数学专业、信息与计算科学专业基础课。课程系统讲授多项式、线性空间、线性变换、欧几里得空间理论，内容包括：多项式的整除、最大公因式、因式分解等，线性空间的定义、基变换与坐标变换、子空间等，线性变换的定义、运算、特征值与特征向量等，欧几里得空间的定义、性质、实对称矩阵的标准形等。建议教材北京大学数学系几何与代
2、数教研室前代数小组.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2010参考资料1王萼芳等.高等代数辅导与习题解答M.北京：高等教育出版社，20072 西北工业大学高等代数编写组.高等代数M.北京：科学出版社，2008 3 刘洪星. 高等代数选讲M.北京：机械工业出版社，20094同济大学数学系.线性代数及其应用M.北京：高等教育出版社，20085孟道骥.高等代数与解析几何（上下册）M.北京：科学出版社，20072二、课程教学目标通过本课程的学习，使学生较系统地掌握多项式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等数学科学的基础理论知识和基本计算技巧，学会严密的逻辑推理方法，大力加强学生的归纳、演绎、
3、类比、抽象等能力，为学生学习后继有关课程如近世代数、离散数学、数论等奠定坚实的基础。三、理论教学内容与要求1 1 多项式（多项式（1818学时，其中讲授学时，其中讲授1616学时，习题课学时，习题课2 2学时）学时）教学内容教学内容要求程度要求程度（1）一元多项式的定义及运算了解了解数域、多项式的相关概念，了解了解一元多项式的概念和表示法、次数、系数等概念，理解理解多项式的运算法则（2）多项式的整除性理解理解多项式整除的概念，掌握掌握多项式整除的性质、多项式的带余除法。（3）多项式的最大公因式了解了解多项式的最大公因式的概念，掌握掌握求解两个多项式的最大公因式的方法-辗转相除法（也称欧几里得除
4、法），理解理解多项式互素的概念及互素判别法。（4）多项式的分解理解理解因式分解及唯一性定理，理解理解余数定理，复系数多项式因式分解定理，实系数多项式因式分解定理，本原多项式及其性质，了解了解艾森斯坦判别法。（5）重因式理解理解重因式的概念，了解了解判别一个多项式是否有重因式的方法（6）多项式函数、多项式的根了解了解多项式函数的概念，了解了解多项式的根的概念（7）复数和实数域上多项式了解了解复数和实数域上的一元多项式的根和因式分解理论，了解了解代数基本定理和根与系数的关系。（8）有理数域上多项式了解了解有理数域上多项式的可约性理论、有理数域上多项式的有理根。了解了解多项式在有理数域上不可约的判别
5、方法-艾森斯坦因判别法。2 2 线性空间（线性空间（1616学时，其中讲授学时，其中讲授1414学时，习题课学时，习题课2 2学时）学时）教学内容教学内容要求程度要求程度（1）集合与映射了解了解集合与映射的概念（2）线性空间的定义及简单性质理解理解线性空间的定义，掌握掌握线性空间的简单性质（3）维数、基与坐标了解了解线性空间的维数、基与坐标的概念，会求常见线性3空间的维数、基与坐标（4）基变换与坐标变换了解了解基变换与坐标变换，重点掌握重点掌握基变换与坐标变换公式（5）线性子空间了解了解线性子空间的概念，生成子空间的定义，理解理解相关定理及结论（6）子空间的交与和了解了解子空间的交与和，掌握掌
6、握维数公式及其推论（7）子空间的直和了解了解子空间的直和的概念，掌握掌握直和的等价条件（8）线性空间的同构理解理解线性空间同构的概念，理解理解两个有限维线性空间同构的条件3 3 线性变换（线性变换（1414学时，其中讲授学时，其中讲授1212学时，习题课学时，习题课2 2学时）学时）教学内容教学内容要求程度要求程度（1）线性变换的定义理解理解线性变换的定义（2）线性变换的运算掌握掌握线性变换的加法、数量乘法、逆变换的定义和性质（3）线性变换的矩阵理解理解线性变换在某一组基下对应的矩阵，了解了解线性变换对应矩阵的各种性质，重点掌握重点掌握线性变换在两组基下对应矩阵的关系。掌握掌握矩阵相似的概念和
7、性质及相关定理。（4）特征值与特征向量掌握掌握线性变换的特征值与特征向量的概念，掌握掌握线性变换的特征值与特征向量的求解方法。（5）对角矩阵掌握掌握矩阵在某一组基下对应的矩阵是对角阵的充分必要条件，两个充分条件。（6）线性变换的值域与核了解了解线性变换的值域与核的概念，会求线性变换的值域与核。（7）不变子空间了解了解不变子空间的概念，了解了解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。（8）若尔当标准型介绍了解了解若尔当矩阵的形式，了解了解若尔当标准型。4 4 欧几里得空间（欧几里得空间（8 8学时，其中讲授学时，其中讲授6 6学时，习题课学时，习题课2 2学时）学时）教学内容教学内容要求程度要求
8、程度（1）定义与基本性质了解了解欧几里得空间的定义和基本性质，掌握掌握向量的长度的定义，两向量夹角的定义，向量正交的含义，了解了解度量矩阵的概念。（2）标准正交基理解理解标准正交基的概念，掌握掌握施密特正交化方法，会把一组向量化成正交的向量组。掌握掌握正交矩阵的概念。（3）同构了解了解同构的概念，理解理解两个有限维欧氏空间同构的充要4条件。（4）正交变换了解了解正交变换的定义，理解理解正交变换的相关等价命题。（5）子空间了解了解欧氏空间中子空间的正交关系，了解了解正交补的概念，了解了解正交补的唯一性。（6）实对称矩阵的标准形掌握掌握实对称矩阵的性质，重点掌握重点掌握把实对称阵相似对角化的方法和步骤。四、考核方式本课程为考试课。采用期末考试、平时考核相结合的考核方式。总成绩为 100 分，其中期末考试成绩占总成绩的 70%，平时成绩（包括作业、出勤、课堂表现等）占总成绩的 30%。
