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1、第第 1414 讲讲 解析几何问题的题型与方法解析几何问题的题型与方法一、知识整合高考中解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题)，共计 30 分左右， 考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考 查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要 知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解 有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。 1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直 线方
2、程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写 出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有 关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划 问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解 决一些实际问题. 3 理解“曲线的方程” 、 “方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的 方程的方法.4掌握圆的标准方程：（r0） ，明确方程中各
3、字母的几何意义，222)()(rbyax 能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进022FEyDxyx 行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（ 为参数） ，明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.cos sinxr yr 5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线 和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件， 求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双
4、曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、 顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线； 掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确 定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程， 并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析2004 年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为 27.1 分，占 181；2001 年以 来，解析几何内容在全卷的平均分值为 29.3 分，占 19.5因此，占全卷近 1/5 的分值的解
5、析 几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括 了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及 1选择、填空题 11 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为 主 （1）对直线、圆的基本概念及性质的考查 例 1 （04 江苏）以点(1，2)为圆心，与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是 _ （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查例 2（04 辽宁）已知点、，动点 P 满足. 当)0 ,2(1F)0 ,2(2F2|12 PFPF点 P 的纵坐标是时，点 P 到坐标原点的距离是21（A）（B
6、）（C）（D）226 23312 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例 3（04 天津文）若过定点且斜率为的直线与圆在第( 1,0)M k22450xxy一象限内的部分有交点，则的取值范围是k（A） （B）05k50k（C） （D）013k05k 2解答题 解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质以中等难度题为主，通常设置 两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单例 4(04 江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是 F（-m,0）(m 是大于 0 的常1 2 数). （）求椭圆的方程； （）设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直
7、线 与 y 轴交于点 M. 若，求lQFMQ2 直线l的斜率 本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问， 需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高解：（I）设所求椭圆方程是).0( 12222 baby ax由已知，得 所以.,21,acmcmbma3,2故所求的椭圆方程是1342222 my mx（II）设 Q（） ，直线QQyx ,), 0(),(:kmMmxkyl则点当由定比分点坐标公式，得), 0(),0 ,(,2kmMmFQFMQ由于时,62. 139 494,)3,32(.31 210,32 212022222kmmkmm kmmQkmkm
8、ymmxQQ解得所以在椭圆上又点.0( 2) ()2,2 ,1 21 2QQmkmMQQFxm ykm uuu u ruuu r当时于是 故直线l的斜率是 0，. 0, 134422222 kmmk mm解得62例 5（04 全国文科）设双曲线C：相交于两个不同1:)0( 12 22 yxlayax与直线的点A、B. （I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为 P，且求a的值.5.12PAPBuu u ruu u r解：（I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组. 1, 12 22yxyax有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=
9、0. . 120. 0)1 (84. 012242 aaaaaa且解得所以双曲线的离心率22111.021,622 6(,2)( 2,).2aeaaaaeee QU且且即离心率的取值范围为（II）设) 1 , 0(),(),(12211PyxByxA.125).1,(125) 1,(,125212211xxyxyxPBPA由此得Q由于x1，x2都是方程的根，且 1a20，222 2 222222172522289,.,121121160 170,.13aaaxxxaaaaa 所以消去得由所以例 6（04 全国文科）给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线 与C相交,42xy l 于A、B两点.
10、（）设 的斜率为 1，求夹角的大小；lOBOA与（）设，求 在轴上截距的变化范围.9 , 4,若AFFBly解：（）C 的焦点为 F（1，0） ，直线l的斜率为 1，所以l的方程为. 1 xy将代入方程，并整理得 1 xyxy42. 0162 xx设则有 ),(),(2211yxByxA. 1, 62121xxxx. 31)(2),(),(212121212211xxxxyyxxyxyxOBOA.4116)(4|2121212 22 22 12 1xxxxxxyxyxOBOA所以夹角的大小为.41143 |),cos(OBOAOBOAOBOAOBOA与.41143arccos（）由题设 得 A
11、FFB),1 (), 1(1122yxyx即 . 1212),1 (1yyxx由得， 2 122 2yy,4,422 212 1xyxy.12 2xx联立、解得，依题意有2x. 0又 F（1，0） ，得直线l方程为),2,(),2 ,(BB或),1(2) 1() 1(2) 1(xyxy或当时，l在方程 y 轴上的截距为9 , 4,12 12 或由 可知在4，9上是递减的，,1212 12 12 ,43 12 34,34 12 43 直线l在y轴上截距的变化范围为.34,4343,34从以上 3 道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考 查的可能，而且在历年的高考
12、试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01 年考的是抛物线，02 年考的是双曲线，03 年考的是求轨迹方程（椭圆） ，04 年考的是椭圆三、热点分析与 2005 年高考预测1重视与向量的综合 在 04 年高考文科 12 个省市新课程卷中，有 6 个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及 到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几 何的热点问题，预计在 05 年的高考试题中，这一现状依然会持续下去 例 7（02 年新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1） ，B（1，3） ，若点C满足，其中、R，且=1，则点C的轨迹方程为OBOAOC
13、（A） （x1）2（y2）2=5（B）3x2y11=0 （C）2xy=0（D）x2y5=0例 8（04 辽宁）已知点、，动点，则点 P 的轨迹)0 , 2(A)0 , 3(B2),(xPBPAyxP满足 是 （A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线2考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在 04 年的 15 个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同”地考查了直线和圆 锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在 05 年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大 3与数列相综合在 04 年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03 年的江
14、苏卷也曾出现过此类试题，所以，在 05 年的试题中依然会出现类似的问题例 9（04 年浙江卷）如图，OBC 的在个顶点坐标分别为（0,0） 、 （1,0） 、 （0,2）,设 P 为线 段 BC 的中点,P2为线段 CO 的中点,P3为线段 OP1的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3为线段 PnPn+1的中点,令 Pn的坐标为(xn,yn), .2121nnnnyyya（）求及;321,aaana（）证明;,414 Nnyyn n（）若记证明是等比数列.,444 Nnyybnnn nb解：()因为，所以，又由题意可知43,21, 153421yyyyy2321aaa，21 3 nn nyyy= 321121nnnnyyya2211 21 nn nnyyyy,2121nnnnayyy为常数列. na., 21Nnaan()将等式两边除以 2，得22121nnnyyy, 124121nn nyyy又，221 4 nn nyyy.414n nyy（）)41 ()41 (444 44841nn nnnyyyyb )(41444nnyy,41nb又, 041431yyb是公比为的等比数列. nb414与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如 03 年的天津文科试题、04 年的湖南文理科 试题，都分别
