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1、 暑假专题相似三角形重点、难点：1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣， 逐步掌握说理的基本方法。2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等 问题的视野。【知识纵横知识纵横】1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。议一议：（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？2. 相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。说明：相似比要注意顺序：如ABCA
2、BC的相似比，而ABCkAB A B1ABC 的相似比，这时。kA B AB2kk1 213. 相似三角形的识别（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形 相似。（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似。【典型例题典型例题】例 1. 如图，123，图中相似三角形有（ ）对。A D E 3 B C 2 1 答：答：4 对例 2. 如图，已知：ABC、DEF，其中A50，B60，C70，D40，E60，F80，能否分别将两
3、个三角形分割成两个小三角形，使 ABC 所分成的每个三角形与DEF 所分成的每个三角形分别对应相似？如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。B E A C D F 解：解：B E M 60o N 60o 50o 70o 40o 80o A C D F 例 3. （2004广东省）如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 F 在 BA 的延长线 上，连结 CF 交 AD 于点 E。（1）求证：CDEFAE；（2）当 E 是 AD 的中点，且 BC2CD 时，求证：FBCF。D C E F A B 命题意图：命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。解析：解析：由 ABDC 得：
4、FDCE，EAFDCDEFAE，又 E 为 AD 中点CD FADE AEDEAE，从而 CDFA，结合已知条件，易证BFBC，FBCF解：解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形ABCDFDCE，EAFDCDEFAE（2）E 是 AD 中点，DEAE由（1）得：CD AFDE AECDAF四边形 ABCD 是平行四边形ABCDABCDAFBF2CD，又 BC2CDBCBFFBCF思路探究：思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段 相等。例 4. 在梯形 ABCD 中，A90，ADBC，点 P 在线段 AB 上从 A 向 B 运动，（1）是否存在一个时刻使AD
5、PBCP；（2）若 AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，则 AP 的长度为多少？A D B C 解：解：（1）存在A D P B C （2）若ADPBCP，则AD BCAP BP设APx4 61044x xxAP，或AD BPAP BC或4 1064xxx，x 6或AP4AP 6AP 长度为 4 或 6例 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE2：3，连结 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则（ ）SSSDEFEBFABF：A. 4：10：25B. 4：9：25C. 2：3：5D. 2：5：25 （2001 年黑龙江省中考题）思路点拨：思路点
6、拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。选 A例 6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C90， AB5cm，BC3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢 片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。思路点拨：思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在 ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。解：解：如图甲，设正方形 EFGH 边长为 x，则 AC4而 CDABACBC，得2SABCCD 12 5又CEHCAB，得CM CDEH AB于是，解得：12 5 12 55 xxx 60 37如图乙，设正方
7、形 CFGH 的边长为 y cm由 GHAC，得：GH ACBH BC即，解得：yy 43 3y 12 7Q xyyx60 3712 760 35，即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为12 7cm例 7. 如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB90，设，ABaADb，作 DEDC，DE 交 AB 于点 E，连结 EC。BCb ab2 ()（1）试判断DCE 与ADE、DCE 与BCE 是否分别一定相似？若相似，请加以 证明。（2）如果不一定相似，请指出 a、b 满足什么关系时，它们就能相似？解：解：（1）DCE 与ADE 一定相似，DCE 与BCE 不一定相似，分别延长 BA、
8、CD 交于 F 点由FADFBC，得：FD FCAD BCb b21 2于是 FDDC，从而可证FEDCED得AEDDEC所以DECAED（2）作 CGAD 交 AD 延长线于 G，CDab22由AEDGDC，有，得AE GDAD GCAEb aDEAEADbb ab aabBEABAEab aab aBE DEab a b aababb ab 2222222222222222222BC DCbab 222要使DCE 与BCE 相似，那么一定成立BE DEBC DC即，得ab bb22 2ab223也就是当时，DCE 与BCE 一定相似。ab3【模拟试题模拟试题】（答题时间：40 分钟）1.
9、如图，已知 DEBC，CD 和 BE 相交于 O，若，则SSDOECOB： 916AD：DB_。2. 如图，ABC 中，CE：EB1：2，DEAC，若ABC 的面积为 S，则ADE 的面 积为_。3. 若正方形的 4 个顶点分别在直角三角形的 3 条边上，直角三角形的两直角边的长分别 为 3cm 和 4cm，则此正方形的边长为_。 （2000 年武汉市中考题）4. 阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同， 就把它们叫做相似体。如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都 等于相似比：，设分别表示这
10、两个正方体的表面积，则ab：SS甲乙：，又设分别表示这两个正方体的体积，则。SSa ba b甲乙 6 6222 VV甲乙、VVa ba b甲乙 333（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）A. 两个球体B. 两个圆锥体C. 两个圆柱体D. 两个长方体（2）请归纳出相似体的 3 条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于_；相似体表面积的比等于_；相似体体积的比等于_。 （2001 年江苏省泰州市中考题）5. 如图，铁道口的栏杆短臂长 1 m，长臂长 16 m，当短臂端点下降 0.5 m 时，长臂端点 升高（ ）A. 11.25 mB. 6.6 mC. 8 mD. 10.5 m6.
11、 如图，D 为ABC 的边 AC 上的一点，DBCA，已知，BCD 与BC 2 ABC 的面积的比是 2：3，则 CD 的长是（ ）A. B. C. D. 4 332 334 337. 如图，在正三角形 ABC 中，D、E 分别在 AC、AB 上，且，AEBE，则有AD AC1 3 （ ）A. AEDBEDB. AEDCBDC. AEDABDD. BADBCD （2001 年杭州市中考题）8. 如图，已知ABC 中，DEFGBC，且 AD：FD：FB1：2：3，则等于（ ）SSSADEDFGEFBCG：四边形四边形A. 1：9：36B. 1：4：9C. 1：8：27D. 1：8：369. 如图
12、，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ACDB，求证：AB CDBC AD2210. 如图，ABC 中，D 是 BC 边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 AB 相交于 点 E，EC 与 AD 相交于点 F。（1）求证：ABCFCD；（2）若，求 DE 的长。SBCFCD510，（2000 年河北省中考题）11. 阅读并解答问题。在给定的锐角ABC 中，求作一个正方形 DEFG，使 D、E 落在 BC 上，F、G 分别落 在 AC、AB 边上，作法如下：第一步：画一个有 3 个顶点落在ABC 两边上的正方形 DEFG。第二步：连结 BF，并延长交 AC 于点 F；第三步：过 F 点作 F
13、EBC 于 E；第四步：过 F 点作 FGBC 交 AB 于点 G；第五步：过 G 点作 GDBC 于点 D。四边形 DEFG 即为所求作的四边形 DEFG，为正方形。问题：（1）证明上述所求作的四边形 DEFG 为正方形；（2）在ABC 中，如果，BAC75，求上述正方BCABC6345，形 DEFG 的边长。 （江苏省扬州市中考题）A G F G F B D E D E C 12. 如图，在ABC 中，在 BC 上有 100 个不同的点ABACBC52，过这 100 个点分别作ABC 的内接矩形PPPP123100、P E F GP E F G11112222，设每个内接矩形的周长分别为，则PEFG100100100100LLL12100、 LLL12100_。 （安徽省竞赛题）A E2 F2 E1 F1 B P1 P2 G2 G1 C 13. 如图，在ABC 中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC 的面积分别为，则ABC 的面积为_。204580222cmcmcm、14. 如图，一个边长为 3、4、5 厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点 B 重合， 另两个顶点分别在正方形的两条边 AD
