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1、 探究题型探究题型 （一）学习重点（一）学习重点1. 综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系 的、具有挑战性和综合性的问题，发展解决问题的能力。2. 加深对“数与代数” “空间与几何” “统计与概率”内容的理解，体会各部分知识之 间的联系，能针对不同的探究题目采取有效的解题策略。 （二）学习关键（二）学习关键1. 采用多样化的方式学习，体验实际生活与数学的密切联系，提高用数学的意识。2. 自主探索、合作交流和动手实践有机结合，养成对结果反思的好习惯。 【典型例题典型例题】例1. 如图，已知AB是O中一条长为4的弦，P为O上一动点，cosAPB1 3。是否存在以
2、 、 、 为顶点且面积最大的三角形？若存在，求APB出这个三角形的面积；若不存在，请说明理由。P C O A D B 评析：评析：本例“是否存在”的对象是三角形，要求满足“面积最大”的条件。解题的思 路是：假定这个三角形存在，则任意画出这个假设的三角形，这时可以发现这个三角形的底是 定值，其面积大小取决于高，从而将问题转化到三角形高的最值问题（线段最值） 。假设存在以A、P、B为顶点且面积最大的三角形（任意画出ABP进行分析） ，作 PDAB于点D，则PD为弓形的高。ABP的底AB是定值，所以其面积大小取决于高PDQ cos，不是直径APBAB1 3若取的中点作为点 ，则必过圆心 ，此时最大。
3、ABPPDOPD显然点P为优弧中点，连结PA、PB，则等腰三角形APB即为所求。为了求PD的长，作直径AC，连结BC，则CAPB，cosCABCRt1 3设，则ACrBCr22 3 根据勾股定理，得：，42 323 2222 2 rrrPDDOODrrr1 34 32 2SAPB1 242 24 2例2. 如图，在RtABC中，C90，沿过点B的直线BE折叠这个三角形，要使点C恰好与AB的中点D重合，还应添加什么条件？C E B D A 评析：评析：本题属条件开放型探究题。如果不再添加辅助线，要使D为AB的中点，可添加 下列条件之一：（1）BEDDEA（2）EBAA（3）AEDCEB（4）AE
4、BC（5）CEB60（6）DEB60（7）DEA60（8）BEA120（9）EBC30（10）EBA30（11）A30（12）CBA60（以上是角的关系）（13）BEAE（14）AB2BC（）153ACBC（）（以上是边的关系）1623ACAB（17）BECAED（三角形之间关系）由于本题添加的条件属性不明，可以从不同角度、不同层次回答，因此答案繁多。虽 然从理论上讲，本题的答案是有限个，但实际上，解题者很难一下子把所有答案一一列举出来。 我们把这一类的条件开放题称为有限混浊型条件开放探究题。解这类题的策略是：需从多个不 同角度思考，先从直接条件入手，再挖间接的、隐含的条件，并按某些规律分类表
5、述。如本题 先从角的关系来表述，再从边的关系表述，最后是从三角形之间的关系来表述，这样就容易做 到不重不漏。例3. 已知：如图，菱形ABCD中，B60，是否存在另一个菱形，它的周长和面积分 别是已知菱形周长和面积的2倍？请你写出自己的探究过程。A B 60 D C 分析：分析：此题为存在型的探究题，如果存在的话，只要找到一个符合条件的菱形就可以 得出结论。如果是不存在的话，就要说明理由了。答：答：存在。设菱形ABCD边长为a，面积为s；另一个菱形为A1B1C1D1，边长b，面积S，过A做 AEBC于E，过A1E1B1C1，C4a，C12CbaSaBA E A B23 2211111，sinA
6、EbSB CA EbSS111111112sinsin，baaa22 2223 2433 4257sinsinsin.，存在另一个菱形，其周长和面积是已知菱形周长和面积的2倍，菱形A1B1C1D1的边长是 菱形ABCD边长的2倍，B125.7。例4. 某商厦张贴巨幅广告：“真情回报顾客”活动共设奖金20万元，最高奖每份1万元， 平均每份奖金200元，一顾客幸运地抽到一张奖券，奖金数为10元，她调查了周围正兑奖的其 他顾客，一个也没有超过50元的，她气愤地要求与商厦领导评理。商厦领导说不存在欺骗，并 向她出示了下面这张奖金分配表，你认为商厦说“平均每份奖金200元”是否欺骗了顾客？大 多数中奖者
7、获得的奖金能接近奖金的平均数吗？中一等奖的概率是多少？以后遇到开奖的问题 你应该更关心什么？ 奖金等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 奖金额（元） 10000 6000 1000 50 10 中奖人数 3 10 87 350 550 分析：分析：平均数、众数、中位数这三个统计量都是反映数据集中程度的统计量。由于每 个等级设置的中奖人数差距悬殊，90%的奖券金额不超过50元，因此中奖者获得的奖金大多不 能用平均数来衡量。对于开奖的问题应选择的统计量是众数。解：解：x 10000360001010008735050 100055010 1000200即平均每份奖券的奖金确为200元，没有
8、欺骗顾客。中一等奖的概率为3 1000 以后遇到开奖的问题，应该更关心中奖金额的众数等信息。例5. 从鄂州到武汉有新旧两条公路可走，一辆最多可乘19人的汽车在这条公路上行驶 时有关数据如下表：路程 （千米） 耗油量 （升/100 千米） 票价 （元/人） 过路费 （元/辆） 油价 （元/升） 新路 60 14 16 20 2.9 旧路 10 12 5 0 2.9 说明：1升/100千米表示汽车每行驶100千米耗油1升。（1）如果用y1（元） 、y2（元）分别表示汽车从鄂州到武汉走新路、旧路时司机的收 入，仅就上表数据求出y1、y2与载客人数x（人）之间的函数关系式；（2）你认为司机应选择哪条公
9、路才能使收入较多？评析：评析：表式信息的优越性就在于将所有的已知数量的对应关系显现了出来，但它反映 的仅仅是对应关系，还需要找到这些数量之间的等量关系，如本例只有找到关系式：司机的收入人数票价路程耗油量油价过路费才能解决（1）的问题：yx11660142910020.即：yx1164436.yx25101229100.即yx25248 .要解决（2）的问题，需要比较y2和y1的大小。 yyxxx215248164436114188 .其中x是不超过19的正整数。即当乘车人数不到4人时，y2y1，走旧路比走新路司机收入多；当乘车人数是4人或超过4人时，y2y1，走新路比走旧路司机收入多。1. 如
10、图，AB是O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆， 设ABa，那么O的周长l a。计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长ll21 21 2a 。（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3_。（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4_。（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln_。结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个 小圆周长是大圆周长的_。（5）请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系。2. 把棱长为a的小正方体按照如图所示的方法摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、
11、、第n层的小正方体的个数记为S。请解答下列问题：（1）在表中空白处填上适当数字： n1234 S136（2）写出当n 10时，S_；（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出 相应的各点，并用平滑曲线连接各点；（4）请你猜一猜上述各点会在某个二次函数图象上吗？如果在某个二次函数图像上， 求出该函数的解析式（不要求写出自变量n的取值范围；如果不在，请说明理由。3. 观察下列图形： 如果第x行共有y枚黑白两色围棋子，那么y与x之间的函数关系式是 _。 （不要求写出x的取值范围）4. 已知AD是ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再
12、连结 其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 _。5. 如下图，已知：O的弦AC、BD相交于点E，点A为BD 上一动点，当点A的位置在 _时，ABEACB。6. 如图，AB是O的直径，O过AC的中点D，DEBC，垂足为E。（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的 过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） 。（2）若ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些结论？7. 已知：如图，在Rt ABC中，ABAC，A90，点D为BC上任一点，DFAB于 F，DEAC于E，M为BC的中点。试
13、判断MEF是什么形状三角形，并证明你的猜想。8. 如图，ABC中，ACB90，ACBC，点E在BC上，过点C作CFAE，垂足为点F， 过点B作BDBC交CF的延长线于点D，请你仔细观察后，在这个图形中除了ACBC外，再找出一 组相等的线段，并说明你的理由。参考答案参考答案1. （2）13l ；（3）14l ；（4）1nl ，1 n；（5）SnS小圆大圆122. （1）空白处填：10 （2）S 55 （3）描点，连线，图略 （4）经观察所描各点，可 知：它们在二次函数的图像上。设函数解析式为：Sanbnc2，则有： abc abc abc 1 423 936解得：abc 1 2 1 2 0Snn
14、1 21 223. yx31 4. ABAC5. A是BD 的中 点6. （1）DE是O的切线 （2）AODABC （3）ADOC（4）AODABC （5）PEAB1 2（6）CDECAB等7. MEF是等腰直角三角形 证明：连结AM M是BC的中点，BAC90，ABACAMBCBM1 2，MA平分BAC MABMAC45 ABAC，DEAC，DFABDEAB，DFAC BAC90 四边形DFAE是矩形 DFAE DFBF，B45BDF45B BFFD AEBF AEMBFM EMFM，AMEBMFBMFAMFo90AMEAMFEMFo90MEF是等 腰直角三角形8. 结论：AECDCFAE，ACB90 ，12901290DCADCAACBCDBCACB DBCECA AECDooQ 探索与实践探索与实践 对于一些探索与实践的题目，题中提供某些信息，供解题者观察。类比、推理、反思，从 而归纳，猜想型探究题。猜想型探究题能培养学生的数感和直觉思维，能培养学生发现与创新 的思维品质和探索精神，但猜想是合情推理，不是严格的论
