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1、习题习题 4.11设 10 个零件中有 3 个不合格现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽 取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数 X 的数学期望解解 可得的概率分布为X0123 7771 1030120120X 于是的数学期望为X7771()01231030120120 4531208E X 2.某人有 n 把外形相似的钥匙，其中只有 1 把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开求此人直至将门打开所需的试开次数 X 的数学期望解解 可得的概率分布为X12 111n Xnnn LL于是的数学期望为X111()121(1)122E Xnnnn n nn n L3设 5 次重复独立
2、试验中每次试验的成功率为 0.9，若记失败次数为 X，求 X 的数学期望。解解 由题意，则的数学期望为(5,0.1)XBX()5 0.10.5E X 4设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。21解解 设该地每年因交通事故死亡的人数为，由题意服从泊松分布.XX( ) (0)P因1122P XP X即 12141!2 2!ee于是的数学期望为X()4E X所以地每年因交通事故死亡的平均人数为 4 人。5设随机变量 X 在区间上服从均匀分布，求.(1,7)2()P XE X解解 因 X 在区间上服从均
3、匀分布，故的数学期望为(1,7)X1 7()42E X于是22()4 1226P XE XP XPX 6设连续型随机变量 X 的概率密度为01( ) ( ,0)0 baxxp xa b其它又知,求的值()0.75E X , a b解解 由密度函数的性质可得( )1p x dx即101 11baax dxb又由，可得()0.75E X 10( )0.75bxp x dxx ax dx即0.752a b求解110.752a b a b 可得 .3,2ab7设随机变量 X 的概率密度为00,( )0, xxexp x 当其他求（1）；（2）遇到大于其振幅均值的概率E X（）解解 （1） 22222
4、22 200( )().2xxxE Xxp x dxedxx de（）=（2）摇摆的随机振幅 X 大于其振幅均值的概率22222 2 224()20.45592xxxP XE XP Xedxee 3 某公司经销某种原料，根据历史资料表明；这种原料的市场需求量 X（单位：吨）服从(300,500)上的均匀分布每售出 1 吨该原料，公司可获利 1.5（千元） ；若积压一吨，则公司损失 0.5（千克） 问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解解 设公司组织货源 t 吨。则显然应该有又设 Y 为在 t 吨货源的条件300500.t 下的收益（单位：千元） ，则收益额 Y 为需求量 X 的函数，即当
5、时，则().Yg XXt此 t 吨货源全部售出，共获利 1.5t。当时，则售出 X 吨（获利 1.5X） ，且还有Xt吨积压（获利所以共获利由此知tX0.5(),tX1.50.5(),XtX1.5 , ()1.50.5(), tXtYg XXtXXt若若1.5 , 20.5 , .tXt XtXt若 若5005003003002211( )( )(20.5 )1.5200200 1=(900300 )200ttE Yg xdxxt dxtdxtt可见，以上是关于 t 的一元二次函数，用求极值的方法得，当吨时，能使达450t ( )E Y到最大，即公司应该组织 450 吨货源。4. 设随机变量的
6、概率密度为X1cos, 022 ( )0, xxp x 其它对独立重复观察 4 次，表示观察值大于的次数，求.XY32()E Y解解 设 A 表示事件“表示观察值大于” ，则33311( )cossin|32222xxpP AP Xdx 由题意，服从二项分布，即，则有Y1(4, )2YB，1( )422E Y 11( )4122D Y 于是22()( )( )145E YD YEY 5. 证明函数在当 t=EX 时取得最小值，且最小值为 2( )() tE XtD X( ）证明证明 因为222( )() 2()()tE XtttE XE X222()()( ()tE XE XE X可见，当即时
7、，取得最小值，且()0tE X()tE X( ) t22 min( )()( ()()tE XE XD X6.设(X,Y)的联合概率分布为X Y -1 0 1-1 1 81 41 1 81 8(1) ()0;(2),(3).E XYXYXYXY 求证当取何值时，与不相关？当与不相关时，与独立吗？解解 由联合分布的性质有231151,8ij ijp即3,8（1）2311113()0488ijij ijE XYx y p（2）通过上表求得 X,Y 的边缘分布律见下表X Y -1 0 1 .ip-1 1 81 43 81 1 81 81 4.jp1 81 41 4于是311()1 () 1 (),8
8、48E X 3111( )1 ()01 ().8448E Y X 与 Y 不相关的充要条件为11(, )()() ( )0()()0.88Cov X YE XYE X E Y 由此得 10,8或10,8解方程组得3,8 10,8 11,;84得3,8 10,8 11,;48故当或时 X 与 Y 不相关。11,8411,48（3）当时可以验证，对任意的（i,j）,均有，故 X 与 Y 相11,84.ijijppp互独立。当时，由于11,48，故 X 与 Y 不独立。2531,11 1888p XYp XP Y 7.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为1 01,|( , )0 xyxp x y
9、 其它求(),( ),(),( ),(, ).E XE YD XD YCov X YXY及解解 11200()( , )223xxE Xxp x y dxdyxdxdyx dx 10( )( , )0xxE Yyp x y dxdydxydy 22112300()( , )21242xxE Xx p x y dxdyx dxdyx dx 22112300()( , )11236xxE Yy p x y dxdydxy dyx dx 22141()() ()2918D XE XE X2211( )() ( )066D YE YE Y又10()( , )0xxE XYxyp x y dxdyxdx
10、ydy (, )()() ( )000Cov X YE XYE X E Y故(, )0XYCov X Y DXDY8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别具有下列概率密度：2(7) 21( ),2xXpxe 2(6) 41( ),2yYpye试求：222(1) (53);(2) (23);(3) 2()7 .EXY EYEXXYDX EXY解解 因为 X 的概率密度为：222(7)(7) 2()211( )22xxXpxee 故,即(7, )XN:()7,()E XD X又222(6)(6) 2( 2)411( )222yyYpyee故,即(6,2),YN:( )6,( )2E YD Y于
11、是由期望与方差的性质可得：222(1) (53)5 ()3 ( ) ()5 73 ( )( ( ) 719EXY EYE XE Y E YD YE Y 222(2) (23)2 ()3 ()2() () 3 () ( )=2( +49)3 7 62(14)EXXYE XE XYD XE XE X E Y 244(3) 2( ()7 4 ()()49 ( )=4 749 298(981)DX E XYE XD XD Y9*.设随机变量 X 与 Y 相互独立,并有相同的分布令2( ,),N ,UaXbY VaXbY试求 U 与 V 的相关系数。解解 因为 22( ,),( ,),XNYN :则(
12、)()()( )()E UE aXbYaE XbE Yab22222( )()()( )()D UD aXbYa D Xb D Yab( )()()( )()E VE aXbYaE XbE Yab22222( )()()( )()D VD aXbYa D Xb D Yab222222222222()()()()=E()=()()E UVE aXbYaXbYE a XabXYabXYb Ya Xb Ya E Xb E Y2222=()()ab2222222( , )()( ) ( )()()() ()=()Cov U VE UVE U E Vabababab2222222222( , )()() ()()( )( )UVCov U Vabab ababD UD V10*.某餐厅每天接待 400 名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（20,100）上的均匀分布，且顾客消费额是相互独立的。试求：（1）该餐厅每天的营业额；（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额760 元内的概率。解解 设每天 400 位顾客中第 i 位顾客消费额为 Xi， 则1, 0 iiX 第个顾客在消费， ，否，i=1，2，3，400(20,100),iXU:，。20 100()602iE X22(10020)80()1212iD X又顾客消费额是相互独立的，故该餐厅每天的营业额为
