离散频率域变换

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1、第四章第四章 离散频域变换离散频域变换 1. 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（DTFT) 一定义 DTFT:Discrete-time Fourier transform 为研究离散时间系统的频率响应作准为研究离散时间系统的频率响应作准 备，从抽样信号的傅里叶变换引出：备，从抽样信号的傅里叶变换引出：与与 z 变换之关系变换之关系逆变换逆变换表示表示 nTjnnTenTxnTtnTxFttxF)()()()()( OTT2T3tT ttxT O123n1 nx TnxnTx),()(上 上 jnjn TeXnxFenxttxF )()()(上 上sResjImO)( js 上 上上 上zR

2、ezjImO 1 )( jez 上 上上 上上 上 jezjzXeX nnznxzX上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上zzezj, 1, 2上 上上 上上 上 d21d21d21d2111 1 jnjjjjnjjjjnj zn zeeXjeeeeXjeeeeXjzzzXjnx d21IDTFTdDTFT jnjjnjnjeeXnxeXenxeXnx二傅氏变换、拉氏变换、z 变换的关系 1. 三种变换的比较三种变换的比较 2.频率的比较频率的比较 3.s 平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z 平面单位圆上的平面单位圆上的 z 变换即为序列的

3、傅氏变换（变换即为序列的傅氏变换（DTFT） 1三种变换的比较 tx 上 上上 上上 上上 上 nTx 上 上上 上上 上上 上 j js sTez 变换变换名称名称傅里叶傅里叶变换变换拉普拉斯拉普拉斯变换变换z变换变换信号信号类类型型变变量量2频率的比较 模拟角频率模拟角频率 ，量纲：弧度，量纲：弧度/秒；秒； 数字角频率数字角频率 ，量纲：弧度；，量纲：弧度；是周期为是周期为 的周期函数的周期函数关系：关系： 3s 平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换4. z 平面单位圆上的 z 变换即为序列的傅氏变换（DTFT） nsnT senTxsX上 上上 上上 上上 上 nnTzesT, nnznx

4、zXz上 上上 上 jez nnTTjs , njnjenxeX 上 上上 上上 上上 上 上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上nx je 2T js , 0 jssHjH jezz , 1 jezzXjX 2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题假定是一个长度为 N 的有限长序列，将以 N 为周期延拓而成的周期txtx序列为，则有 nx rrNnxnx或表示为。于是与的关系表示为： Nnxnx nx nx Nnxnx nRnxnxN 将表示为离散时间傅里叶级数有： nx kn NNnWkXNnx101 kn NNnWnxkX10

5、其中是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里 kX叶变换的形式相类似。如果将的主值周期记为，由于 kX kX10Nk以上两式中的求和范围均取为区间 0N-1，在次区间内=，因此可以得 nx nx到：， kn NNnWnxkX10 10Nk， kn NNnWkXNnx10110Nn表明时域 N 点有限长序列可以变换成频域 N 点有限长序列。显然， nx kXDFT 与 DFS 之间存在以下关系： NkXkX kRkXkXN 3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)的推导的推导(1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (

6、2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现。)(snTt 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图 1。有卷积波纹 N N 原函数 用于抽样 抽样后 用于截断 截断后 用于延拓 延拓后 定义DFT 叠加干涉 0 t 0 t 0 t 0

7、 t 0 t 0 t 0 t 0 t 或nTs 0 f或kf0 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 图 1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换： kNnNknjskffenThfH)()()( 010/2(i)是离散函数，仅在离散频率点处存在冲激，)(fH SNTk Tkkff 00强度为，其余各点为 0。ka(ii)是周期函数，周期为，每个周期内有个不)(fH ssTNTN TNNf100N同的幅值。 (iii)时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒 数。2 DFT 及及 IDFT 的定义的定义(1) DFT 定义：设是连续

8、函数的个抽样值，这 N 个点snTh)(thN1, 1 , 0NnL 的宽度为 N 的 DFT 为：) 1,.,1 , 0(,)()(10/2 NkNTkHenThnThDFT sNnNnkjssN(2) IDFT 定义：设是连续频率函数的个抽样值， sNTkH)( fHN1, 1 , 0NkL这 N 个点的宽度为 N 的 IDFT 为：) 1,.,1 , 0(,110/21 NknTheNTkHNNTkHDFTsNkNnkjssN(3)称为 N 点 DFT 的变换核函数，称为 N 点 IDFT 的变换核Nnkje/2Nnkje/2函数。它们互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的 DFT

9、会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应 关系是唯一的，或者说它们是互逆的。 (5) 引入Nj NeW/2 (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为和。nkNWnkNW(b) 核函数的正交性可以表示为： )(*10rnNWWkrNNkknN(c) DFT 可以表示为：) 1, 1 , 0(,)(10 NkWnThNTkHNnnkNs sL(d) IDFT 可以表示为：) 1, 1 , 0(,1)(10 NnWNTkHNnThNknkN ssL(ii)性质：周期性和对称性： (a)12 jN NeW (b)12/ jN NeW (c)r Nr NN NrN NWWWW(d)r Nr

10、NN NrN NWWWW2/2/(e)(1ZmWmN(f),(/2/2ZnmWeeWnNNnjmNmnjmnmN3 离散谱的性质离散谱的性质(1) 离散谱定义：称为离散序列的 DFT 离散谱，)(ZkNTkHH Sk )0)(NnnTsh简称离散谱。 (2) 性质：(i) 周期性：序列的 N 点的 DFT 离散谱是周期为 N 的序列。 (ii)共扼对称性：如果为实序列，则其 N 点的 DFT 关于原)0)(NnnTsx 点和 N/2 都具有共轭对称性。即；* kkHH* kkNHH*22kNkNHH m (iii) 幅度对称性：如果为实序列，则其 N 点的 DFT 关于原)0)(NnnTsx

11、点和 N/2 都具有幅度对称性。即；kkHHkkNHHkNkNHH m22 (3) 改写： (i)简记为)(snTh)(nh(ii) 简记为 sNTkH)(kH(iii) DFT 对简记为：或)()(kHnhDFT )()(kHnh(iv) ) 1, 1 , 0(,)()(10 NkWnhnhDFTkHNnnkNL(v) ) 1, 1 , 0(,1)()(101 NnWkHNkHDFTnhNknkNL4 DFT 总结总结(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的，)(nTsx)0(Nn 它并不要求该序列具有周期性。(2) 由 DFT 求出的离散谱是离散的周期函数，周期为)()(ZkNTkHHkH Sk 、离散间隔为。离散谱关于变元 ks ssfTNTNTNNf1/000 011fTNf NTss的周期为 N。 (3) 如果