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1、高三数学第二轮专题复习系列(5)- 平面向量 一、本章知识结构： 二、高考要求 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和 减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共 线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的 坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有 关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公 式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角 形。8、通过解三角形的应用的
2、教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 三、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类： 1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长 度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的 常规题为主. 3.向量在空间中的应用（在 B 类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运 用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式 题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平
3、面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交 叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜 三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视 应用。考查的重点是基础知识和基本技能。来源:学.科.网 四、复习建议 由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类： 一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜 三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题
4、。 在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确 地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向 量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以 要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。 在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要 体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。 五、典型例题 平面向量 【例1】 在下列各命题中为真命题的是( ) 若 =(x 1 ,y 1 )、 =(x 2 ,y 2 )，则 =x
5、 1 y 1 +x 2 y 2 a b a b 若 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )，则 = AB 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( y y x x 若 =(x 1 ,y 1 )、 =(x 2 ,y 2 ),则 =0 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 a b a b 若 =(x 1 ,y 1 )、 =(x 2 ,y 2 )，则 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 a b a b A、 B、 C、 D、 解：根据向量数量积的坐标表示；若 =(x 1 ,y 1 ), =(x 2 ,y 2 )，则 =x 1 x 2 +y 1 y 2 ，对照命题 a b a b (1
6、)的结论可知，它是一个假命题、 于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进 行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就 以排除了(C)，应选择(B)、 说明：对于命题(3)而言，由于 =0 = 或 = 或 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，故它是 a b a 0 b 0 a b 一个真命题、 而对于命题(4)来讲， x 1 x 2 +y 1 y 2 =0、但反过来，当x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 时，可以是 a b x 1 =y 1 =0，即 = ，而我们的教科书并没有对零向量是否与
7、其它向量垂直作出规定，因此 a 0 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 )，所以命题(4)是个假命题、 a b 【例2】 已知 =( ,1), =(1, )，那么 ， 的夹角 =( ) a 3 b 3 a b A、30 B、60 C、120 D、150 解： =( ,1)(1， )=2 a b 3 3 3 = =2 a 2 2 ) 1 ( ) 3 ( = =2 b 2 2 ) 3 ( 1 cos= = = b a b a 2 2 3 2 2 3 【例3】 已知 =(2,1), =(1,3),若存在向量 使得： =4, =9，试求向量 a b c a c b c 的坐标、 c 解：设 =(x
8、,y),则由 =4 可得： c a c 2x+y=4；又由 =9 可得：x+3y=9 b c 于是有： 9 3 4 2 y x y x ) 2 ( ) 1 ( 由(1)+2(2)得 7y=14,y=2,将它代入(1)可得：x=3 =(3,2)、 c 说明：已知两向量 ， 可以求出它们的数量积 ，但是反过来，若已知向量 及数 a b a b a 量积 ，却不能确定 、 a b b 【例4】 求向量 =(1,2)在向量 =(2，2)方向上的投影、 a b 解：设向量 与 的夹角 、 a b 有 cos= = = b a b a 2 2 2 2 ) 2 ( 2 2 1 ) 2 ( 2 2 1 10
9、10 在 方向上的投影= cos= ( )= a b a 5 10 10 2 2 【例5】 已知ABC 的顶点分别为 A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC 边上的高 AD，求 及点 D 的坐标、 AD 解：设点 D 的坐标为(x,y) AD 是边 BC 上的高， AD BC， AD BC 又C、B、D 三点共线， BC BD 又 =(x2,y1), =(6,3) AD BC =(x3,y2) BD 0 ) 3 ( 3 ) 2 ( 6 0 ) 1 ( 3 ) 2 ( 6 x y y x 解方程组，得x= ,y= 5 9 5 7 点 D 的坐标为( ， )， 的坐标为( ， ) 5 9
10、5 7 AD 5 1 5 2 【例6】 设向量 、 满足： =1，且 + =(1，0)，求 ， 、 a b a b a b a b 解： =1， a b 可设 =(cos,sin), =(cos,sin)、 a b + =(cos+cos,sin+sin)=(1,0)， a b ) 2 ( 0 sin sin ) 1 ( 1 cos cos L L L L 由(1)得：cos=1cos(3) 由(2)得：sin=sin(4) cos=1cos= 2 1 sin= ,sin= 2 3 m 2 3 或 2 3 , 2 1 2 3 , 2 1 b a 2 3 , 2 1 2 3 , 2 1 b a
11、【例7】 对于向量的集合 A= =(x,y)x 2 +y 2 1中的任意两个向量 、 与两个 v 1 v 2 v 非负实数 、；求证：向量 + 的大小不超过 +、 1 v 2 v 证明：设 =(x 1 ,y 1 )， =(x 2 ,y 2 ) 1 v 2 v 根据已知条件有：x 2 1 +y 2 1 1,x 2 2 +y 2 2 1 又因为 + = 1 v 2 v 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( y y x x = ) ( 2 ) ( ) ( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 y y x x y x y x 其中x 1 x 2 +y 1 y 2 1 2 1 2 1
12、 y x 2 2 2 2 y x 所以 + =+=+ 1 v 2 v 2 2 2 【例8】 已知梯形 ABCD 中，AB CD，CDA=DAB=90,CD=DA= AB、 2 1 求证：ACBC 证明：以 A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系、如图，设 AD=1 则 A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1) =(1,1), =(1,1) BC uuu r AC uuu r =11+11=0 BC uuu r AC uuu r BC AC、 【例9】 已知 A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x 轴的正半轴上求点 C，使ACB 最大， 并求出最大值、 解，设 C
13、(x,0)(x0) 则 =(x,a), =(x,b) CA CB 则 =x 2 +ab、 CA CB cosACB= = CB CA CB CA 2 2 2 2 2 b x a x ab x 令 t=x 2 +ab 故 cosACB= 1 1 ) ( 1 ) ( 1 2 2 2 t b a t b a ab 当 = 即 t=2ab 时，cosACB 最大值为 、 t 1 ab 2 1 b a ab 2 当 C 的坐标为( ,0)时，ACB 最大值为 arccos 、 ab b a ab 2 【例10】 如图，四边形 ABCD 是正方形，P 是对角线 BD 上的一点，PECF 是 矩形，用向量法
14、证明 (1)PA=EF (2)PAEF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为 1， =,则 A(0，1)，P( ， )，E(1， )，F( ，0) OP 2 2 2 2 2 2 2 2 =( ,1 ), =( 1, ) PA 2 2 2 2 EF 2 2 2 2 (1) 2 =( ) 2 +(1 ) 2 = 2 +1 PA 2 2 2 2 2 2 =( 1) 2 +( ) 2 = 2 +1 EF 2 2 2 2 2 2 = 2 ,故 PA=EF PA EF (2) =( )( 1)+(1 )( )=0 PA EF 2 2 2 2 2 2 2 2 PA EF、 PA EF 【例 11】 已知 ). 1 , 2 ( ), 0 , 1 ( b a v v 求 ； | 3 | b a v v 当 k 为何实数时,k 与 平行, 平行时它们是同向还是反向？ a v b v b a v v 3 解： = (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , = = . b a v v 3 | 3 | b a
