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1、东南大学交通学院高等数学历年试卷东南大学交通学院研学部整理东大交院高数历年试卷 研学部制作第 2 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。第一部分 历年试卷2003 级高等数学（A） （上）期中试卷一、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分）1. , （）2)( ,)( ooxfxfy且处 可 导在 点函 数 是时则 当 dyx ,0（A） ；（B） ；等 价 的 无 穷 小与 同 价 但 非 等 价 的 无 穷 小与（C） ；（D） 。低 价 的 无 穷 小比 x高 价 的 无 穷 小比 x2.方程 （）内 恰 有在 ) ,(0125（A） 一个实根；（B）二个实根；（ C）三个实
2、根；（ D）五个实根。3.已知函数 ,0)( , fxf的 某 个 邻 域 内 连 续在 ,1cos)(limxfx则 （）处在 0（A） 不可导；（B）可导且 ；（C ）取得极大值；（ D）取得极小值。)0(f二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1. 时， .axaxf 0., 3cos2)( 则 当若 处 连 续在 0)( xf2.设函数 ，则 处间断，其类型是 .nxnef1lim)( 2xf)( 在3.函数 余项的三阶 公式为 Lagrexf处 的 带在 oTaylor。4.设函数 ，则 .所 确 定由 方 程 1)sin()(xyy d5.已知 ，则 .1lxf0f6.设 ，其
3、中 ， 。22ta)(cosy可 导 dxy则三、 （每小题 7 分，共 28 分）1.求极限 . 2.求极限xxcot0)4tn(lim )sin1(silmxx3.已知 ，求 . 4.设 .eysi1l)(y 2 , ,2condyty求东大交院高数历年试卷 研学部制作第 3 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。四、 （8 分）求证 ， .时当 0xxsin63五、 （6 分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，问 2 秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？sm/六、 （8 分）试就 a 的不同取值，讨论方程 的实根的个数。ax2)(3七、 （6
4、分）设函数 ， ， ，证明：至少存在上 连 续在 1,0 f 内 可 导在 1 ,00)1( f且一点 ，使 。)1 ,0()(3f八、 （8 分）在椭圆 上求一点 ，使得它与另外两点0 12bayx ) ,(yxP， ) ,0(bB构成的三角形 。) ,2(aA的 面 积 最 小AB东大交院高数历年试卷 研学部制作第 4 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2004 级高等数学（A） （上）期中试卷一. 填空题(每小题 4 分,共 20 分)1.设 时, 与 是等价无穷小,则 .0x1e3sinxnn2.设 在 处连续,则 .0,e2l)(xaf a3.设 则 .cos)(2xf
5、)(1f4.函数 在区间 内单调减少.lnx5.函数 在 处的带 Lagrange 余项的一阶 Taylor 公式为 xf)(10二. 选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.设 则 是 的 ,arctn1e)(xxf0)(xf(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点2.设 且 在 处连续, ,则 ,2xgf)(2x0)(xg)2(f(A) = (B) = - (C) (D) 不存在)( 3.函数 在 内的零点个数为 1elnxf,0(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34.设曲线 则该曲线 ,2xy(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近
6、 (C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线三. 计算题(每小题 7 分,共 3 5 分)1. 2. xx1sincotlim0 xxsin120e31lnsiim3. 设 是由方程 确定的隐函数 ,求 .ysine2yyd东大交院高数历年试卷 研学部制作第 5 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。4. 设 , 求 .tyxarcn122d,xy5. 设函数 且 存在 ,试确定常数,0,;,e2xcbf f .,cba四.(8 分) 证明不等式: 当 时, .121lnxx五.(8 分) 求曲线 的切线,使切线与直线 及直线 所围成的82xy 0y8x图形的面
7、积最大.六.(7 分) 设 ,证明数列 收敛,并求 .L21 4,01nxxn nxnxlim七.(6 分) 设 在 上连续,在 内可导,且 证明: ，使得fbaba,0abba,.ff23东大交院高数历年试卷 研学部制作第 6 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2005 级高等数学（A） （上）期中试卷一填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）1 ；2limsn1x2当 时, 与 是等价无穷小,则 ;0()arcsinosxx2()xkk3设 ，则 ；siydxy4函数 在 处带有 余项的二阶 公式为 ；()exf1PeaTaylor5已知函数 可导，则 ，
8、。32sin,0()9rct,xaxfb b二单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）6设函数 ，则 1()exf（A） 都是 的第一类间断点（B） 都是 的第二类间断点0,x()f 0,1x()fx（C） 是 的第一类间断点， 是 的第二类间断点f 1()f（D） 是 的第二类间断点， 是 的第一类间断点x()x7 设函数 由参数方程 确定，则曲线 在 处的切线与y2ln(1)ty()yx3轴交点的横坐标是 x（A） （B） （C） （D） 8 以下四1ln238l2388l23ln2个命题中，正确的是 （A）若 在 内连续，则 在 内有界()fx0,1()fx0,1（
9、B）若 在 内连续，则 在 内有界（C）若 在 内有界，则 在 内有界()fx,()fx,（D）若 在 内有界，则 在 内有界01019 当 取下列哪个数值时，函数 恰有两个不同的零点 a32()9fxxa（A） （B ） （C ） （D）2468东大交院高数历年试卷 研学部制作第 7 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三计算题（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）10 11。01limexx 3limn12lxx12 13。设 求1li2n nL,)()xf)(fn14设函数 由方程 所确定，求 。()yx22si()e0xydy四 （本题共 4 道题，满分 29
10、 分）15 （本题满分 6 分）如果以每秒 的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常350cm值，且形状始终为球形，问当气球的半径为 时，半径增加的速率是多少？16 （本题满分 7 分）证明不等式： 12e(0)xx17 （本题满分 8 分）在抛物线 上求一点 ， ，使弦 的长度214y,4PaPQ最短，并求最短长度，其中 是过点 的法线与抛物线的另一个交点。Q18 （本题满分 8 分）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且()fx,ab,ab，证明：(),()fabfa（1） 至少存在一点 ，使得 ；,cb()fc(2) 至少存在互异的两点 ，使得 a1f东大交院高数历年试卷 研学
11、部制作第 8 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2006 级高等数学（A） （上）期中试卷一. 填空题（前四题每题 4 分，第 5 题 8 分，满分 24 分）1函数 的全部间断点分别是 ，它们的类型依次分别为 ；sin()1)xf2已知 ，则 ， ；2lim0xabab3设 ，其中 为可微函数，则微分 ；rctn()yf()fxdy4设 ，若 在 处可导，则 ， ；3,1()axbff1ab5举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：（1）在 处不连续，但当 时，极限存在的函数有0x0x（2）在 处连续，但在 时不可导的函数有（3）在 处导数为 ，但 不为极值点的连续函数有（
12、4）属于“ ”或“ ”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得的有二.单项选择题（每题 4 分，满分 12 分）1设 是单调增函数， 是单调减函数，且复合函数 ，()fx()gx(),()fxfg都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 ,g(A) (B) (),()fxf (),()gfx(C) (D) gf2当 时，若 是比 更高阶的无穷小，则 0x2ln(1)yxabx(A) (B) (C) (D) 1,2ab, 1,1,2ab3下面四个论述中正确的是 (A)若 ，且数列 单调递减，则数列 收敛，且其极限 0(,)nxLnxnx0(B)若 ，且数列 收敛，则其极限120a(C)若 ，则 limnxa0(1,2)nxL(D)若 ，则存在
