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1、1初中数学竞赛专题选讲连续正整数的性质一、内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是 0，2，6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是 1。4.大于 1 的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如312，793940，1115556。二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从 10000 到 99999 的个数，它是9999910000190000（个）1. n 位数的个数一般可表示为910 n-1(n 为正整数，10 01)例如一位正整数从 1 到 9 共 9 个（910 0） ，二位数从 1
2、0 到 99 共 90 个（910 1）三位数从 100 到 999 共 900 个（910 2）2.连续正整数从 n 到 m 的个 数是m n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模 m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从 13 到 49 的连续奇数的个数是 119234从 13 到 49 的连续偶数的个数是 11884. 从 13 到 49 能被 3 整除的正整数的个数是 11235从 13 到 49 的正整数中除以 3 余 1 的个数是 11349你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1. 123n（1n） （n 是正整数）2连续正整数从 a 到 b 的和记作(a+
3、b) ab2把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模 m 有同余数的和，举例如下：2. 11131555（1155） 759（从 11 到 55 有奇23数 123 个）253. 11141753（1153） 480（从 11 到 53 正整15数中除以 3 余 2 的数的个数共 115）3四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1. 123456789 各数位上的数字和是（09）（18）（45）95452. 123499100 计算各数位上的数字和可分组为：（0，99） ， （1，98） ，（2，97）（48，51） ， （49，50）共有 50 个 18，加上 100 中的 1各
4、数位上的数字和是 18501901五. 连续正整数的积从 1 开始的 n 个正整数的积 123n 记作 n！，读作 n 的阶乘1. n 个连续正整数的积能被 n！整除，如 111213 能被 123 整除；979899100 能被 4！整除；a（a+1）(a+2)(a+n)能被（n+1）！整除。2. n！含某因质数的个数。举例如下： 12310 的积中含质因数 2 的个数共 8 个其中 2，4，6，8，10 都含质因数 2暂各计 1 个，共 5 个其中 42 2含两个质因数 2增加了 1 个其中 82 3含三个质因数 2再增加 2 个 123130 的积中含质因数 5 的个数的计算法5，10，
5、15，125，130均含质因数 5暂各计 1 个，共 26 个其中 25，50，75，100 均含 52 有两个 5各加 1 个，共 4 个其中 1255 3 含三个 5再增加 2 个积中含质因数 5 的个数是 32二、例题例 1. 写出和等于 100 的连续正整数解：10025042552010103其中 2 个 50 和 10 个 10 都不能写成连续正整数而 4 个 25：1213，1114，1015，916得第一组连续正整数 9，10，11，12，13，14，15，16。5 个 20 可由 20，1921，1822得第二组连续正整数 18，19，20，21，22。例 2. 一本书共 1
6、990 页用 0 到 9 十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数 1 到 9 共 9 个两位数 1099，共 90 个，用数码 902180 个三位数 100999，共 900 个，用数码 90032700 个四位数 10001990，共 991 个，用数码 99143964 个共用数码 9180270039646853例 3. 用连续正整数 1 到 100 这 100 个数顺次连接成的正整数：123499100。问：它是一个几位数？它的各位上的数字和是多少？ 如果从这个数中划去 100 个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解： 这个数的位数=91+
7、902+3=192各位上的数字和=1850+1=901(见上页第四点)划去 100 个数，从最高位开始并留下所有的 9：包括 18，1018，19 中的 1，2028，29 中的 2，50到 56 这里共有 8191919191498 个，再划去 57，58 中的两个 5，剩下的数的前十位是 9999978596。例 4. 算术平方根的整数部分等于 11 的连续正整数共有几个？解： 11， 12124算术平方根的整数部分等于 11 的正整数 x 是 112x12 2;符合条件的连续正整数是 121，122，123，143。共 23 个。例 5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位
8、数的 2 倍， 求这两个连续正整数。解：设连续正整数为 x,x+1,相同数码的三位数为 100a+10a+a根据题意，得 x(x+1)=2(100a+10a+a) 即 x(x+1)=222a （1）把 222 分解质因数得x(x+1)=2337a（2）连续正整数的积的个位数只能是 0，2，6且 0a9由（1）可知 a 可能是 1，3，5，6，8分别代入（2）只有 6 适合4x(x+1)=3637答所求的连续正整数是 36 和 37三、练习1. 除以 3 余 2 的两位数共有_个，三位数有_个，n 位数有_个。2. 从 50 到 1000 的正整数中有奇数_个，3 的倍数_个。3. 由连续正整数
9、连写的正整数 1239991000 是_位数，它的各位上的数字和是_。4. 把由 1 开始的正整数 依次写下去，直写到第 198 位为止， 321L位98那么这个数的末三位数是_，这个数的各位上的数字和是_这个数除以 9 的余数是_(1989 年全国初中数学联赛题)5. 已知 a= , b=432L10个 910个那么ab=_ab 的各位上的数字和是_( 可用经验归纳法 )6. 计算连续正整数的平方和的个位数： 12+22+32+92 和的个位数是_ 12+22+32+192 和的个位数是_ 12+22+32+292 和的个位数是_ 12+22+32+392 和的个位数是_ 12+22+32+
10、1234567892 和的个位数是（1990 全国初中数学联赛题)7. 写出所有和能等于 120 的连续正整数(仿例 1)它们共有三组：_，_，_。8. 连续正整数的积 1234100这积中含质因数 5 的个数有_，积的末尾的零连续_个。9. 恰有 35 个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？ (1990 年全国初中数学联赛题)10. .设 a,b,c 是三个连续正整数且 a2=14884,c2=15376,那么 b2 是( )(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)1537611. 计算： 2+4+6+100= 1+4+7+10+100= +10+
11、15+100=12. 有 11 个正整数都是小于 20，那么其中必有两个是互质数，这是为什5么？如果有(n+1)个正整数，它们都小于 2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。13. 一串数 1，4，7，10，697，700 的规律是第一个数是 1，以后的每一个数等于它前面的一个数加，直到 700 为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988 年全国初中数学联赛题) 提 示：先求积中含质因数 5 的个数练习题参考答案1.30，300，310 n-1 2. 475 个，317 个3.2893，135014.102，906，65. 19909 8019982L个个6. 5，0，5，0
12、，57. 39，40，41；22，23，24，25，26；1，2，3158. 24，249. 9.1710. 10.（B）11. 11.2550，1717，105012.小于 20 的正整数中有 10 个奇数，与奇数连续的正偶数，它们必互质，把互质数放在同一个抽屉，设有 10 抽屉，11 个正整数放入其中，至少有一个抽屉里放有两个。这一串数是除以 3 余 1 的正整数，我们来计算含质因数 5 的个数：能被 5 整除且除以 3 余 1 的正整数是 10，25，40，700，先各算 1 个能被 52 整除且除以 3 余 1 的正整数是 25，100，175，700，各多算 1 个能被 53 整除且除以 3 余 1 的正整数是 250，625，再各加 1 个，能被 54 整除且除以 3 余 1 的正整数是 625，再加 1 个，共含有 60 个 5答积的尾部共有零60 个（上述可用式子表示： ， ， ， 的整数值）5k325k3626
