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1、第十四章波动14-1 一横波再沿绳子传播时得波动方程为 。 （1）求波得振xmtsmy)()5.2(co)0.(1幅、波速、频率及波长；（2）求绳上质点振动时得最大速度；（3）分别画出 t=1s 和 t=2s 时得波形，并指出波峰和波谷。画出 x=1.0m 处质点得振动曲线并讨论其与波形图得不同。14-1 xmtsmy)(5.2co)0.( 11分析（1）已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速 、频率 、振幅 A 及u彼长 等） ，通常采用比较法。将已知的波动方程按波动方程的一般形式书写，然后通过比较确定各特征量（式中前“” 、 “”的选取分0cosuxtAy别对应波沿 x 轴正向和负
2、向传播） 。比较法思路清晰、求解简便，是一种常用的解题方法。（2）讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别。例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即 ；而波速是波线上dtyv质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度） ，其大小由介质的性质决定。介质不变，彼速保持恒定。 （3）将不同时刻的 t 值代人已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程 ，从而作出波形图。而将确定的 x 值代入)(xy波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程 ，从而作出振动图。)(t解（1）将已知波动方程表示为 115.25.2cos)0.(
3、 smxtmy与一般表达式 比较，可得0utA,5.2,0.1su则 mvHzv0.2,.（2）绳上质点的振动速度 1115.25.sin5.0 sxtdty则 1max7.v（3） t=1s 和 t2s 时的波形方程分别为xmy115.2cos)0.(12.波形图如图 141（a）所示。x1.0m 处质点的运动方程为 tsmy15.2co)0.(振动图线如图 141（b）所示。波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的时间变化的情况。14-2 波源作简谐运动，其运动方程为 ，它所形成得波形以 30m/stsmy)240
4、co()10.4(13的速度沿一直线传播。 （1）求波的周期及波长；（2）写出波的方程。14-2 tsmy)40co()0.4(13分析 已知彼源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式进行比较，求出振幅地角频率 及初相 ，而这三个物理量与波动方程0costA 0的一般形式 中相应的三个物理量是相同的。再利用题中已知的波速0csuxtyU 及公式 和 即可求解。T/2解（1）由已知的运动方程可知，质点振动的角频率 。根据分析中所述，波1240s的周期就是振动的周期，故有 sT310.8/2波长为 mu5.(2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得 02410
5、.413， sA故以波源为原点，沿 X 轴正向传播的波的波动方程为)8()240cos()10.4( 113 xmtmuxty 14-3 以知以波动方程为 。 （1）求波长、频率、波速和周期；)2()0sin()5.(1xty（2）说明 x=0 时方程的意义，并作图表示。14-3 )2()10sin()5.( 1xmtmy分析采用比较法。将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得角频率。 、波速 U，从而求出波长、频率等。当 x 确定时波动方程即为质点的运动方程 。)(ty解（1）将题给的波动方程改写为 2/)5/)(10sin)5.( 1smtmy与 比较后可得波速 角频率 ，故
6、有0couxtA 10suTsTHz 14.32./1.52/ ，（2）由分析知 x=0 时，方程表示位于坐标原点的质点的运动方程（图 134） 。/)0cos().0(1tmy14-4 波源作简谐振动，周期为 0.02s，若该振动以 100m/s 的速度传播，设 t=0 时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1）距离波源 15.0m 和 5.0m 两处质点的运动方程和初相；（2）距离波源 16.0m 和 17.0m 两处质点的相位差。14-4分析（1）根据题意先设法写出波动方程，然后代人确定点处的坐标，即得到质点的运动方程。并可求得振动的初相。 （2）波的传播也可以看成是相位的传播。
7、由波长 A 的物理含意，可知波线上任两点间的相位差为 。/x解（1）由题给条件 T0.02 s，u100 msl，可得 muTs210/2；当 t0 时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为 。若以波源为坐标原点，则波动方程为）或 /3(/2/)10/)10cos1sxtAy距波源为 x 1=15.0m 和 x 25.0m 处质点的运动方程分别为 5.)cs(1t.0o12 tAy它们的初相分别为 （若波源初相取 ,则初相5.5.2010和 2/30， 。 ）/)(221x（2）距波源 16.0 m 和 17.0 m 两点间的相位差/212114-5 波源作简谐振
8、动，周期为 1.010-2s，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以 u=400m/s 的速度沿直线传播。求：（1）距离波源 8.0m 处质点 P 的运动方程和初相；（2）距离波源 9.0m 和 10.0m 处两点的相位差。14-5解分析同上题。在确知角频率 、波速 和初相120/sT140smu的条件下，波动方程）或 2/(/30 /3)40/)(0cos(11smxtAy位于 x P =8.0 m 处，质点 P 的运动方程为 2/5)(2s(1tp该质点振动的初相 。而距波源 9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为/0P 2/)(2)(211 uTxx如果波源初相取 ，则
9、波动方程为/02/9)(2cos(1tAy质点 P 振动的初相也变为 ，但波线上任两点间的相位差并不改变。/0P14-6 有一平面简谐波在介质中传播，波速 u=100m/s，波线上右侧距波源 O（坐标原点）为75.0m 处的一点 P 的运动方程为 。求（1）波向 x 轴正方向传播2/)cos()30.(1tmyp时的波动方程；（2）波向 x 轴负方向传播时的波动方程。14-6 2/)cos()30.(1tmyp分析在已知波线上某点运动方程的条件下，建立波动方程时常采用下面两种方法：（1）先写出以波源 O 为原点的波动方程的一般形式，然后利用已知点 P 的运动方程来确定该波动方程中各量，从而建立
10、所求波动方程。 （2）建立以点 P 为原点的波动方程，由它来确定波源点 O 的运动方程，从而可得出以波源点 O 为原点的波动方程。解 1（1）设以波源为原点 O，沿 X 轴正向传播的波动方程为0cosuxtAy将 u100 ms代人，且取 x 二 75 m 得点 P 的运动方程为075.stp与题意中点 P 的运动方程比较可得 A0.30m、 、 。则所求波动方程为12s20)10/)(2cos)30.( 11smxtmyp(2)当沿 X 轴负向传播时，波动方程为0cosuxtAy将 x75 m、 代人后，与题给点 P 的运动方程比较得 A 0.30m、 、10 12s，则所求波动方程为0 )
11、/)(2cos)3.( 11smxty解 2（1）如图 14 一 6（a）所示，取点 P 为坐标原点 O，沿 Ox 轴向右的方向为正方向。根据分析，当波沿该正方向传播时，由点 P 的运动方程，可得出以O（即点 P）为原点的波动方程为 5.0)1/)(2cos)30.( 11 smxtmy将 x=-75 m 代入上式，可得点 O 的运动方程为ts)().(1由此可写出以点 O 为坐标原点的波动方程为 )0/)(2cos)30.( 11smxty（2）当波沿河 X 轴负方向传播时。如图 146（b）所示，仍先写出以 O（即点 P）为原点的波动方程 5.0)1/)(2cos)30.( 11 sxtm
12、y将 x=-75 m 代人上式，可得点 O 的运动方程为 )s().(1t则以点 O 为原点的波动方程为)0/)(2cos)30.( 11smxty讨论对于平面简谐波来说，如果已知波线上一点的运动方程，求另外一点的运动方程，也可用下述方法来处理：波的传播是振动状态的传播，波线上各点（包括原点）都是重复波源质点的振动状态，只是初相位不同而已。在已知某点初相平 0 的前提下，根据两点间的相位差 ，即可确定未知点的初相中小/20x14-7 图 14-7 为平面简谐波在 t=0 时的波形图，设此简谐波的频率为 250Hz，且此时图中质点P 的运动方向向上。求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点 O
13、为 7.5m 处质点的运动方程与 t=0 时该点的振动速度。14-7分析（1）从波形曲线图获取波的特征量，从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径。具体步骤为：1.从波形图得出波长 、振幅 A 和波速 ；2.根据点 P 的运动趋u势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转关量法确定其初相 。 （2）在波动方程确定后，即可得到波线上距原点 O 为 X 处的运动方程 yy（t） ，及0该质点的振动速度 vdyd t。解（1）从图 15 8 中得知，波的振幅 A 0.10 m，波长 ，则波速m0.2。根据 t0 时点 P 向上运动，可知彼沿 Ox 轴负向传播，并判定此时13.5
14、smu位于原点处的质点将沿 Oy 轴负方向运动。利用旋转矢量法可得其初相 。故波动3/0方程为 3/)50/)(50cos()1.0( 11smxtuxtAy（2）距原点 O 为 x=7.5 m 处质点的运动方程为 2/3)().(1tyt=0 时该点的振动速度为 110 6.40/sin)5()/( smdtv14-8 平面简谐波以波速 u=0.5m/s 沿 Ox 轴负方向传播，在 t=2s 时的波形图如图 14-8（a）所示。求原点的运动方程。14-8分析上题已经指出，从波形图中可知振幅 A、波长 和频率 。由于图 148（a）是t2s 时刻的波形曲线，因此确定 t 0 时原点处质点的初相就成为本题求解的难点。求t0 时的初相有多种方法。下面介绍波形平移法、波的传播可以形象地描述为波形的传播。由于波是沿 Ox 轴负向传播的，所以可将 t2 s 时的波形沿 Ox 轴正向平移，即得到 t=0 时的波形图 148（b） ，再根据此时点 O 的状muTx0.1)50.(1态，用旋转关量法确定其初相位。解由图 15 9（a）得知彼长 ，0.2振幅 A 0.5 m。角频率 。15/su 按分析中所述，从图 159（b）可知 t=0 时，原点处的质点位于平衡位置。并由旋转矢量图 148（C）得到 ，则所求运动方程为2/05.).0cos()5.(1tmy14-9 一平
