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1、1第一章 行列式第一讲 行列式的定义与性质教 学 目 的：掌握行列式的概念及行列式的性质教学重点与难点：行列式的概念与性质教学计划时数：2 学时教 学 过 程：1.排列与逆序对于 个不同的元素,我们可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例n如 这 个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.1,2L定义 1 由 个自然数 组成的一个无重复的有序数组 ,称为一个 级1,2nL12niL排列.例如,1234 和 2431 都是 4 级排列,而 45321 是一个 5 级排列.显然, 级排列共有 个.n!排列 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；12L
2、其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.定义 2 在 个不同元素的任一排列中 ,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个 级排列 中,如果一个较大的数排在一个较n12tsniiL小的数之前,即若 ,则称这两个数 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称tsits为这个排列的逆序数,记为 或 .12()ni例如,排列 2431 中,21,43,41,31 是逆序,共有 4 个逆序.故排列 2431 的逆序数 .4根据定义 1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数：设在一个 级排列 中，比 大的且排在 前面的数共有 个，n12niL(1,2)tinLtiit则 的逆
3、序的个数为 ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数即tiit12121().nn iitt例 1 计算排列 45321 的逆序数.解 因为 4 排在首位,故其逆序数为 0；比 5 大且排在 5 前面的数有 0 个，故其逆序数为 0；比 3 大且排在 3 前面的数有 2 个，故其逆序数为 2；比 2 大且排在 2 前面的数有 3 个，故其逆序数为 3；比 1 大且排在 1 前面的数有 4 个，故其逆序数为 4可见所求排列的逆序数为(5)0292定义 3 如果排列 的逆序数为奇数，则称它为 奇排列；若排列 的逆序12niL 12niL数为偶数，则称它为偶排列.例如，2431 是偶排
4、列，45321 是奇排列；标准排列 的逆序数是 0，因此是偶排12nL列.2.对换定义 1 在排列 中,将任意两数 和 的位置互换，而其余的数不动，12tsniiLtis就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换.例如，对换排列 45321 中 5 和 1 的位置后，得到排列 41325.经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实.定理 1 对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.3. 阶行列式n定义 1 设有 个数，排成
5、 行 列的表：2n121212nnnaaL作出表中位于不同行列的 个数的乘积，并冠以符号 ，得到 个形如(1)!n的项，其中 为自然数 的一个排列， 为这个排列的12()njjaL12njL,L逆序数.所有这 项的代数和 称为 阶行列式，记作!1212()nnjjja.12121212 ()1 nnnnjjjjnaaLLM其中 表示对所有的 级排列 求和.行列式有时也简记为 ，这里数12njL 12nj det()ija称为行列式的元素， 称为行列式的一般项.ija1212()nnjjjaL定义 1.1.5 通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点：由于 级排列的总数是 个，所以展开式
6、共有 项；!每项必须是取自不同行不同列的 个元素的乘积；每项前的符号取决于 个元素列下标所组成排列的奇偶性.n3要注意的是，当 时，一阶行列式 ，不要与绝对值记号相混淆 .1na例 1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为 0).1(1)2, 2,11nnnn aaLN证 根据 阶行列式的定义易得.121nnaN(1)(1)2 2,1,1nnnnnaa L L上例中行列式，其非副对角线上元素全为 0，此类行列式可以直接求出结果，例如. 证毕01234(4321)24类似地，非主对角线上元素全为 0 的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主对角线上元素的乘积，即有.1212nnaaLO主
7、对角线以下（上）的元素全为 0 的行列式称为上（下）三角行列式，它的值与对角行列式的一样.例 2 计算上三角形行列式.12120nnaaLM解 一般项为 ，现考虑不为零的项.1212()nnjjjaL取自第 行，但只有 ，故只能取 ； 取自第 行，只有nja0n1,nja，由于 取自第 列，故 不能取自第 列, 所以 ；1,1,0n 1,nj 1nj同理可得， .221,njjL4所以不为零的项只有.(12)1212nnnaaLL所以.121220nnnaML在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这 个元素的次序是可以任意写的，
8、阶行列式的项可以写成 12nijijaL其中 是两个 级排列.利用定理 1.1.1，可以给出 阶列式另一种表示1212,nnijL n法.定理 1 阶行列式也定义为 12121212121()()12 .nnnnnijijijijnnaaaLL LM推论 阶行列式也定义为 121212121()12 .nnnniiiinnaaaLL例 2 在四阶行列式中， 应带什么符号？134a解 1）按定义 1.1.5 计算.因为 ，而 的逆序数为231414234a2，()013所以 的前面应带负号.21342）按定理 1.1.2 计算.因为 行指标排列的逆序数为1324a，(231)02列指标排列的逆序
9、数为5.(1243)01所以 的前面应带负号.2134a4、行列式的性质性质 1 行列互换，行列式不变，即 121211221212.nnnnnnaaaLLMM性质 2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.推论 若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零.性质 3 用一个数乘以行列式的某一行（列） ，等于用这个数乘以此行列式，即1211211212.nniiiiiinnnnaaakkaaaLLMMLL第 行(或列)乘以 ,记为 (或 ).ikiick推论 1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论 2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零.推论
10、 3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.性质 4 若行列式中第 行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的i和.其中这两组数分别是这两个行列式第 行（列）的元素，而除去第 行（列）外，这两i i个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即 112112niiiiiinnnaabbaaLMML.211211212iiiniiinn nbbaaaMMLL若 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成 个行列式.如2nxbyyxbyczdwczdwyxbyczdw6性质 5 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变.例如以数 乘第 行加到第
11、 行上（记作 ） ，有kjijikr.12111211212n niiiijijijjjjnjj jnn nnaaaakkaaaaLLMMMLL以数 乘第 列加到第 列上，记作 .kjijikc7第二讲 行列式的计算教 学 目 的：掌握行列式的计算教学重点与难点：行列式的计算教学计划时数：2 学时教 学 过 程：1、化行列式为三角行列式来计算性质 2，3，5 介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即 ， ，ijrki和 ， ， .利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算jikrijcikjic（或 ）可以把行列式中许多元素化为 0，进而把行列式化为三角行列式，最ji ji后得到行列式的值
12、.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：把行列式化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为 0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为 0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例 1 计算行列式 .01220D解 3112 2024rrD32 43010122r r.()()4例 2 计算 阶行列式n8.nabDbaLML解 注意到此行列式中各行（列）的 个数之和相等，故可把第二列至第 列都加n
13、到第一列上去，然后各行都加上第一行的（1）倍，就有 12(1)(1)ncnabbDaabLLM213100nrr babL LML1().nab按本例，特别地有： .41313(4)(3)82、行列式按行（列）展开定理定义 1 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下的（ ）阶nijaij 1n行列式，称为元素 的余子式，记为 ；再记ijaijM，ijiijA)1(称 为元素 的代数余子式.ijAija例如，对三阶行列式 12133a元素 的余子式和代数余子式分别为12a9，213aM.21312121()aA有了定义 1，三阶行列式可以写成 2131121313aaMa.11
14、213A引理 一个 n 阶行列式 D,若其中第 i 行（或第 列）所有元素除 外都为零，则该行jija列式等于 与它的代数余子式的乘积，即ija.ijAa定理 1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即 ),2,1(21 niaAaDinii LL或 .,jAjjj推论 行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ,021 jiaAajnijiji L或 .,jijijiji上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理.我们可以利用定理 1 来计算一些简单的行列式.例 3 计算行列式 12340.5D解 因为
15、 中第二行的数字比较简单，所以选择 的第二行.应用性质 5 得D10314220467cD21467按 第 二 行 展 开 （ ） 21301529c .(271)45=-9例 4 计算 阶行列式n.00nabDabbLML解 将 按第 1 列展开，则有n 1(1) (1)0000nnn nabaDbab LMMLL.1 1()n nab例 5 证明范德蒙德(Vandermonde) 行列式 ,)(1111222jinjinn xxxDLML其中记号“”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法.因为，22111()ijijDxx所以当 时公式成立.现假设公式对于（ ）阶范德蒙德行列式成立，要证对 阶范2nnn德蒙德行列式也成立.对 降阶：从第 行开始，后行减去前行的 倍，有n 1x112131122213110()()(),nnnnnxxxDLMML按第一列展开，并把每列的公因子 提出，得到()(,)ixi23213112()(),nn
