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1、2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分一、选择题.(201年高考(新课标理)已知函数;则的图像大致为 .（02年高考（浙江理）设a0，b0.( )A若，则abB.若,则ab若,则a0,bR,函数（)证明：当1时,（)函数的最大值为|2ba;(） +|2a-b|a0;() 若11对x0,1恒成立,求b的取值范围.(2012年高考(重庆理)(本小题满分13分，()小问6分,（）小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.（) 求的值;(） 求函数的极值.(02年高考(陕西理）设函数(1)设，证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1）的条件下,设是在
2、内的零点,判断数列的增减性.（20年高考(山东理)）已知函数（为常数，是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.()求的值；()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明：对任意.(21年高考(辽宁理)）设，曲线与直线在(0,)点相切(）求的值.(）证明:当时,.(212年高考(江苏）)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点（）求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;（3)设，其中,求函数的零点个数.(012年高考（湖南理）)已知函数,其中a.()若对一切x,1恒成立,求a的取值集合(2)在函数的图像上取定两点,记直线A的斜率为K,问:是否
3、存在x0(x1,x2）,使成立?若存在,求的取值范围；若不存在，请说明理由.（202年高考（湖北理）)（)已知函数,其中为有理数，且. 求的最小值；()试用（)的结果证明如下命题:设,为正有理数. 若,则;(）请将()中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时，有求导公式.（202年高考（广东理）)(不等式、导数）设,集合,.()求集合(用区间表示)；()求函数在内的极值点.(012年高考（福建理)已知函数.(）若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间;(）试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.(201年高考（大
4、纲理）)(注意：在试题卷上作答无效）设函数(1)讨论的单调性;(2)设,求的取值范围.(2012年高考(北京理）已知函数（),.()若曲线与曲线在它们的交点(,）处具有公共切线，求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.（201年高考（安徽理）)(本小题满分13分)设（I）求在上的最小值；（I）设曲线在点的切线方程为;求的值.212年高考真题理科数学解析汇编:导数参考答案一、选择题 【解析】选 得:或均有 排除 【答案】A 【解析】若,必有构造函数：,则恒成立,故有函数在x0上单调递增,即a成立.其余选项用同样方法排除.【答案】D 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减；
5、 ,由,函数为减; ,由,函数为增.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减. 解析:，令得,时,为减函数;时，,为增函数，所以为的极小值点,选D 【解析】若函数在R上为减函数，则有.函数为增函数,则有,所以，所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件,选. 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: ，再由定积分的几何意义,可求得面积为. 【答案】 【解析】,故，答案【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 答案A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数
6、中的极值的运用.要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值 由或可得或，即 二、填空题 NxyODM15P图2xyABC15图1解析如图,， 所以,易知,=f(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MN与OM全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODM的面积S=. 评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 【解析】由已知得，所
7、以,所以. 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成，主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等 解析：.,所以切线方程为,即. 三、解答题【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. ()的定义域为得:时，（2)设则在上恒成立（*）当时,与(*)矛盾当时,符合(*）得:实数的最小值为（lfxlby）()由(2)得:对任意的值恒成立取:当时,得：(lbylfx）当时，得：【点评】
8、试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行 【解析】(1) 令得： 得:在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 （2）得 当时,在上单调递增 时,与矛盾当时, 得:当时， 令;则 当时,当时,的最大值为 【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. (） (). 当b0时,在0x1上恒成立, 此时的最大值为：=|2aba; 当0时,在0x1上的正负性不能判断， 此时的最
9、大值为:=2a-; 综上所述:函数在0x1上的最大值为|2a-b|； (） 要证+a-b|a0，即证=|2a|a. 亦即证在01上的最大值小于(或等于)|2a-b|a, ,令. 当b0时,0在0x1上恒成立,此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b0时,在0x1上的正负性不能判断, |2-b|; 综上所述:函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2aa.即+|a-|a0在0x1上恒成立. （)由()知:函数在01上的最大值为2a-b|， 且函数在x1上的最小值比(2-）要大1对x0,1恒成立,2a-b|a1. 取为纵轴，a为横轴. 则可行域为:和,目标函数为+b. 作图如下： 由图易得:当目标函
10、数为za+过P(，2)时,有,. 所求a+b的取值范围为：【答案】() 见解析;(） . 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力. 解：(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即, 从而，解得（2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数； 当时,，故在上为增函数; 故在处取得极小值. 解析：(),时, ,在内存在零点. 又当时， 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. (2)当时， 对任意都有等价于在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下:（)当,即时， ，与题设矛盾()当,即时, 恒成立 ()当,即时, 恒成立综上可知, 注:()()也可合并证明如下: 用表示中的较大者.当,即时, 恒成立(3)证法一 设是在内的唯一零点 , 于是有 又由(1)知在上是递增的,故， 所以,数列是递增数列 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 解析：由f(x)= 可得,而,即,解得; (),令可得， 当时,;当时,. 于是在区间内
