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1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（理工类） 20154 （考试时间120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题 ：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1. 已知集合 2 1,2,Am ， 1,Bm . 若 BA ，则 m A.0B. 2 C. 0或 2 D. 1 或 2 2.已知点 0 (1,)Ay 0 (0)y 为抛物线 2 2ypx0p 上一点 .若点A到该抛物线焦点的距离为 3，则 0y A. 2 B. 2 C. 22
2、D. 4 3.在 ABC 中，若 3 A ， 6 cos 3 B， 6BC ,则 AC A. 4 2 B.4 C. 2 3D. 4 3 3 4. “ xR , 2 10 xax 成立”是“ 2a ”的 A充分必要条件B必要而不充分条件 C充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件 5.某商场每天上午10 点开门，晚上 19 点停止进入 在 如图所示的框图中， t表示整点时刻，( )a t 表示时间 段 1, )tt 内进入商场人次，S表示某天某整点时刻 前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总 人次数，则判断框内可以填 A. 17?t B 19?t C 18?t D 18?t 1tt 结束
3、是 10,0tS 否 输出 S 开始 ( )SSa t 6.设 123 ,x xx 均为实数，且 1 21 1 log (1) 3 x x ， 2 32 1 log 3 x x ， 3 23 1 log 3 x x 则 A. 132 xxx B. 321 xxx C. 312 xxx D. 213 xxx 7.在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 (1,0)A , (1,1)B ，且 90BOP .设 OPOAkOB ()kR ，则 OP A . 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 2 8. 设集合 M = 22 000000 (,)20,xyxyxyZZ ，则M 中元素的个数为
4、A. 61 B. 65 C. 69 D.84 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9.i为虚数单位，计算 12i 1i _. 10.设 nS为等差数列na的前 n项和 .若 383aa，31S,则通项公式na =_. 11. 在极坐标中，设 0 02， ，曲线 2 与曲线 sin2 交点的极坐标为_. 12. 已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种 队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答） 13. 设 3zxy ，实数 x， y 满足 20, 20, 0, xy
5、xy yt 其中 0t 若z的最大值为5，则实数 t 的 值为 _，此时 z 的最小值为 _. 14将体积为1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的 每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了 n ( nN ) 次 .则第一次挖去的几何体的体积是_；这 n 次共挖去的所有几何体的体积和是 _. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分13 分） 已知函数 2 ( )cos3sincosf xxxx ， xR . （）求 ( )f x 的最小正周期和单调递减区间； （）设 xm ()
6、mR 是函数 ( )yf x 图象的对称轴，求 sin 4m 的值 16 （本小题满分13 分） 如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损， 其中，频率分布直方图的分组区间分别为 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ，90,100. 据此解答如下问题 （）求全班人数及分数在80,100之间的频率； （）现从分数在80,100之间的试卷中任取3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分 数在90,100的份数为X，求X的分布列和数学期望 17 （本小题满分14 分） 如图，正方形ADEF与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，已知 /,ABCD A
7、DCD ， 1 2 ABADCD . （）求证 : BF / 平面 CDE ； （）求平面BDF与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值; ( ) 线 段 EC 上 是 否 存 在 点M， 使 得 平 面BDM平 面 55889 622367 899 712245 688 99 824568 9 92378 学生成绩0.0375 0.0125 0.01875 O 频 率 组 距 50 60 70 80 90 100 0.03125 0.025 分数 A B F E D C BDF？若存在，求出 EM EC 的值；若不存在，说明理由. 18 （本小题满分13 分） 已知函数 2 ( )ln(1) 2
8、 x f xaxax ， aR （）当 1a 时，求函数 ( )f x 的最小值； （）当 1a 时，讨论函数 ( )f x 的零点个数 . 19.（本小题满分14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为 (2,0)F ，离心率为 6 3 过焦点F 的直线l与椭圆C交于,A B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线 交椭圆于,M N 两点 （）求椭圆C的方程； （）求四边形AMBN面积的最大值 20.（本小题满分13 分） 若数列 n a 中不超过 ()f m 的项数恰为 m b ()m * N，则称数列 m b 是数列 n a 的生成数 列，称
9、相应的函数()f m 是 n a 生成 m b 的控制函数设 2 ()f mm （）若数列 n a 单调递增，且所有项都是自然数，1 1 b，求 1 a； （）若数列 n a单调递增，且所有项都是自然数，, 11 ba求 1 a； ( ) 若2 (1,2,3) n an n，是否存在 m b生成 n a的控制函数 2 ( )g npnqnr （其中 常数 , ,p q rZ）？使得数列 n a也是数列 m b的生成数列？若存在，求出 )(ng ；若 不存在，说明理由. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学答案（理工类）2015 4 一、选择题（满分40 分） 二、填空题（满分30 分） 题
10、号9 10 11 12 13 14 答案 13 i 22 1 3 n 2, 2 72 2; 1 1 2 ; 1 1() 2 n （注：两空的填空，第一空3 分，第二空2 分） 三、解答题 （满分 80 分） 15.（本小题满分13 分） 解： （）由已知，函数 2 ( )cos3sincosf xxxx 1 (1cos2 ) 2 x + 3 sin 2 2 x 1 sin(2) 62 x. 函数( )f x 的最小正周期为T. 当 3 2 22 262 kxk时（ k Z ） ，即 2 + + 63 kxk时，函数 ( )f x 为减函数 .即 函数( )f x 的单调减区间为 2 +, +
11、63 kk， kZ . .9 分 （） 由xm是函数( )yf x 图象的对称轴， 则 2= 62 mk （ k Z ） ， 即 1 26 mk， kZ .则 42 3 mk.则 3 sin4 2 m. .13 分 16. （本小题满分13 分） 解 ： （ ） 由 茎 叶 图 可 知 ， 分 布 在50,60)之 间 的 频 数 为4， 由 直 方 图 ， 频 率 为 0.0125100.125， 所以全班人数为 4 32 0.125 人 所以分数在80,100之间的人数为32(4810)10-+=人. 分数在80,100之间的频率为 10 0.3125 32 .4 分 （）由（）知，分数在
12、80,100之间的有10 份，分数在90,100之间的人数有 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C C B A D A B C 0.01251032=4创份，由题意，X的取值可为0,1,2,3 3 6 3 10 1 (0) 6 C P X C ， 12 46 3 10 1 (1) 2 C C P X C ， 21 46 3 10 3 (2) 10 C C P X C ， 3 4 3 10 1 (3) 30 C P X C 所以随机变量X的分布列为 X0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量X的数学期望为 11316 0123 6210305 EX .13 分 17
13、.（本小题满分14 分） 解： （）因为/,ABCD AB平面,CDE CD平面 CDE ， 所以/AB平面 CDE ，同理，/AF平面 CDE ， 又,ABAFA 所以平面/ABF平面 CDE ， 因为BF平面,ABF 所以/BF平面 CDE . .4 分 （）因为平面ADEF 平面ABCD，平面ADEF I平面ABCD=AD， C DA D ，CD 平面 ABCD ， 所以CD 平面ADEF .又 DE 平面ADEF，故CDED. 而四边形ADEF为正方形，所以ADDE又ADCD， 以D为原点，DA， DC ，DE所在直线分别为x轴，y轴， z 轴，建立空间直角坐标 系 Dxyz.设1AD
14、，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)DBFCE， 取平面 CDE 的一个法向量(1,0,0)DA， 设平面 BDF 的一个法向量 ( , , )x y zn ， E F B A C D y z x 则 0 0 DB DF n n ，即 0 0 xy xz ，令1x，则1yz， 所以(1, 1, 1)n. 设平面BDF与平面 CDE 所成锐二面角的大小为， 则 13 cos|cos,| 3 3 DA n. .9 分 所以平面BDF与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值是 3 3 . () 若M与C重合，则平面()BDM C的一个法向量 0 (0,0,1
15、)=m，由（）知平面BDF 的一个法向量(1, 1,1)=-n，则 0 10?mn =，则此时平面BDF与平面BDM不垂直 . 若M与C不重合，如图设 EM EC () 01?，则(0,2 ,1)M，设平面BDM的一个法 向量 000 (,)xyzm， 则 0 0 DB DM m m ，即 00 00 0 2(1)0 xy yz ，令 01x，则 00 2 1, 1 yz ， 所以 2 (1, 1,) 1 m， 若平面BDF平面BDM等价于0m n，即 2 110, 1 所以 1 0,1 2 . 所以， EC 上存在点M使平面BDF平面BDM，且 1 2 EM EC .14 分 18. （本小
16、题满分13 分） 解： （）函数( )f x 的定义域为 0 x x. 当1a时， 2 ( )ln 2 x f xx. M E F B A C D y z x 2 11(1)(1) ( ) xxx fxx xxx . 由 (1)(1) 0 xx x () 0 x解得1x；由 (1)(1) 0 xx x () 0 x解得 01x. 所以( )f x 在区间 (0,1) 单调递减 , 在区间 (1,) 单调递增 . 所以1x时,函数( )f x 取得最小值 1 (1) 2 f. .5 分 （） (1)() ( ) xxa fx x ,0 x. （1）当0a时， (0,1)x时,( )0fx,( )f x 为减函数 ; (1,)x时，( )0fx，( )f x 为增函数 . 所以( )f x 在1x时取得最小值 1 (
