《《泛函分析》上册课后习题答案(张恭庆)完整版[学习]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《泛函分析》上册课后习题答案(张恭庆)完整版[学习]（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、111 证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间， 而 任一度量空间的完备子空间必是闭子集 (1) 设 111 证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间， 而 任一度量空间的完备子空间必是闭子集 (1) 设X是完备度量空间, 是完备度量空间, MX是闭的. 要证是闭的. 要证 M是一个完备的子空间. 证 是一个完备的子空间. 证 xm, xnM, xm xn 0 m, n xm, xnX, xm xn 0 m, n, X是完备度量空间,是完备度量空间, xX,使得使得xnx. xnM,xnx MX 是闭的 xM. xm, xnM, xm xn0, m, n xM, 使得xnx M是一个完备
2、的子空间. (2) 设 是一个完备的子空间. (2) 设X是一度量空间, 是一度量空间, M是是X的一个完备子 空间. 要证 的一个完备子 空间. 要证M是闭子集. 即, 若是闭子集. 即, 若xnM,xnx. 要证要证xM. 证 因为收敛列是基本列, 所以证 因为收敛列是基本列, 所以 xnM,xm xn0,m, n, 又又 M是完备度量空间, 所以 是完备度量空间, 所以 xM,使得使得xnx. xnx xnx x=xM. 1.1.2 (Newton法) 1.1.2 (Newton法) f是定义在是定义在 a, b 上的二次连续可微的实上的二次连续可微的实 1 1 / 82 ， xa,x=
3、 , , x 证存在证存在 x的邻域的邻域 U x ， 使得， 使得 x0U x 迭代序列迭代序列 xn+1=xn fxn f x n n=0, 1, 2, 是收敛的，并且是收敛的，并且 lim n xn= x 证明证明 Tx =x fx f x , d dx Tx=1 f x 2 fx f x f x 2 = fx f x f x 2 , fx =0,f x 0.f x 在点在点 x 处 连续, 处 连续, lim xx fx f x f x 2 =0, x 的邻域的邻域 U x , 使得使得 fx f x f x 2 1,f x 0 xU x . |Tx Ty|= f f f 2 |x y
4、|x y| x, yU x . 于是, 对于是, 对 x0U x , xn+1=Txn n=0, 1, 2, 是收敛的. 设是收敛的. 设 xnxU x . . Tx=xfx=0.联合联合 fx = 0 x U x fx=0 xU x f x 0 xU x x=x , 2 2 / 82 故有故有xnx . 1.1.3 设1.1.3 设 X, 是度量空间，映射是度量空间，映射T:XX满足满足 Tx, Tyx, y xy 并已知并已知T有不动点. 求 证此不动点是惟一的. 证明 用反证法. 如果 有不动点. 求 证此不动点是惟一的. 证明 用反证法. 如果T有两个不动点有两个不动点 x1x2 ,即
5、 有, ,即 有, 一方面 Tx1=x1 Tx2=x2 Tx1, Tx2=x1, x2; 另一方面,由假设Tx1, Tx2x1, x2 x1, x2x1, x2 矛盾. 1.1.4 设 矛盾. 1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的 证明 只要证 是连续的 证明 只要证 xnx0TxnTx0. 由假设, 由假设, 0, 1 使得使得 Tx, Tyx, y, 故有故有 xnx0 xn, x00 Txn, Tx0 xn, x0 Txn, Tx00TxnTx0. 1.1.5 设1.1.5 设T是压缩映射，求证是压缩映射，求证Tn也是压缩映射，并说明逆 命题
6、不一定成立. (1)因为 也是压缩映射，并说明逆 命题不一定成立. (1)因为T是压缩映射,所以是压缩映射,所以 0, 1, 使得使得 Tx, Tyx, y, 从而从而 T2x, T2yTx, Ty2x, y. 假定假定 Tnx, Tnynx, y 成立, 则有成立, 则有 Tn+1x, Tn+1yTnx, Tnynx, y=n+1x, y. 3 3 / 82 于是根据数学归纳法原理, 于是根据数学归纳法原理, Tnx, Tny nx, y 对对 n成立. 又 成立. 又010n1.故有故有 Tnx, Tnyx, y. 即即Tn是压缩映射. (2) 逆命题不一定成立. 例如 是压缩映射. (2
7、) 逆命题不一定成立. 例如 fx= x 2 :0, 10, 1. f2x= x 2 :0, 10, 1 是压缩映射.但是是压缩映射.但是 fx= x 2 :0, 10, 1 不是压缩映射. 事实 上, 如果 不是压缩映射. 事实 上, 如果 fx:0, 10, 1 是压缩映射,即是压缩映射,即 :01,使得使得 |fx2 fx1 | |x 2 x1| |fx2fx1 | |x2x1| x1, x20, 1. 即差商即差商 |fx2fx1 | |x2x1|是有界的. 但是如果取是有界的. 但是如果取 x1= 1 n , , x2 =2x1= 2 n n2, |fx2fx1 | |x2x1| =
8、n1 1 2 n. 即知差商即知差商 |fx2fx1 | |x2x1|是无界的, 矛盾. (3)如果存在正整数 是无界的, 矛盾. (3)如果存在正整数n,使得使得Tn是压缩映射, 那么是压缩映射, 那么T 有唯一不动点.事实上, 根据不动点定理, 有唯一不动点.事实上, 根据不动点定理, x0使得使得 Tnx0=x0. 则有则有 TnTx0 =Tx0 | Tn+1x0= TTnx0 即即Tx0也是也是Tn的不动点. 又的不动点. 又Tn是压缩映射, 那么是压缩映射, 那么Tn 有唯一不动点,即得有唯一不动点,即得 Tx0=x0. 这就证明了这就证明了T有不动点.有不动点. 4 4 / 82
9、下面再证下面再证T的不动点唯一. 用反证法. 如果的不动点唯一. 用反证法. 如果 x1, x2 是是T 的两个不动点的两个不动点 x1x2. 即有即有 Tx1=x1 Tx2=x2 , 那么那么 Tnx1=Tn1Tx1 Tx1=x1 =Tn1x1=Tx1=x1 Tnx2=Tn1Tx2 Tx2=x2 =Tn1x2=Tx2=x2 即即 x1, x2 是是Tn的两个不动点,因为的两个不动点,因为Tn是压缩映射,所 以 是压缩映射,所 以Tn有唯一不动点,从而有唯一不动点,从而 x1=x2, 矛盾. 1.1.6 设 矛盾. 1.1.6 设M是是n中的有界闭集，映射中的有界闭集，映射 T:MM满足满足
10、Tx, Tyx, y x ,yM ,xy . 求证求证T在在M中存在唯一的不动点. 证 中存在唯一的不动点. 证 Tx, Tx00 . 根据假设, 我们有 . 根据假设, 我们有 Tx0, T 2x0 x0, Tx0=min xM x, Tx. 但是但是 Tx0,T 2x0 M , 这与 , 这与 x0, Tx0 是最小值矛盾. 故 是最小值矛盾. 故 x0, Tx0=0 , 即存在不动点 , 即存在不动点 x0 . . 5 5 / 82 不动点的唯一性是显然的. 事实上, 如果存在两个不动点不动点的唯一性是显然的. 事实上, 如果存在两个不动点 x1,x2 , 则从 , 则从 x1,x2=T
11、x1,Tx2x1,x2 即得矛盾. 注假如把条件 即得矛盾. 注假如把条件M是是n中的有界闭集 去掉, 只假定中的有界闭集 去掉, 只假定 Tx, Tyx, y x ,yM ,xy , 结论一般不对. 例如, 结论一般不对. 例如, X =1, Tx= 2 + x arctan x Tx, Ty=|Tx Ty|= 2 1 +2 |x y|x y|=x, y. 由此可见, 映射由此可见, 映射T满足假定:满足假定: Tx, Tyx, y x ,yM ,xy , 但是但是 Tx=xarctan x= 2 , 这是不可能的, 因 此映射 , 这是不可能的, 因 此映射T没有不动点. 1.1.7 对于
12、积分方程 没有不动点. 1.1.7 对于积分方程 xt 0 1 etsxsds=yt 为一给定函数，为一给定函数，为常数，为常数， |1 ，求证存在惟一解，求证存在惟一解 xt0, 1. 证明证明 xt 0 1 etsxsds=yt etxt 0 1 esxsds=etyt zt def =etxt,t=etyt, 则有则有 zt=t +0 1 zsds, 令令 T:ztt +0 1 zsds. Tu, Tv=max t0,1 0 1 usds 0 1 vsds | max t0,1 0 1 |us vs|ds=| max t0,1|ut vt| =|u, v. 6 6 / 82 1.2.1
13、? S? ? x = (1,2, ,n) ? S ? (x,y) = X k=1 1 2k |k k| 1 + |k k| , x = (1,2,), y = (1,2,).S? ? ? (x,y) ? (1),(2)! #$% k N , ? ? ?x (m+p) k x(m) k ? ? ? 0 (m , p N ).(1) ? A BC ?D ? k N , B 0,E Nk FG, X i=1 1 2i ? ? ?x (m+p) i x(m) i ? ? ? 1 + ? ? ?x (m+p) i x(m) i ? ? ? Nk, p N ). HI ? ?J kK LM ( 0 ,)
14、x(1)= ? (1) 1 ,(1) 2 , ,(1) k , ? 0(k ) x(2)= ? (2) 1 ,(2) 2 , ,(2) k , ? 0(k ) x(3)= ? (3) 1 ,(3) 2 , ,(3) k , ? 0(k ) . . . . . . . . . x(n)= ? (n) 1 ,(n) 2 , ,(n) k , ? 0(k ) x= (1,2, ,k,) x(n) x lim n sup k1 ? ? ? (n) k k ? ? ? = 0 0,sup k1 ? ? ? (n) k k ? ? ? 3 (n N) 10 10 / 82 ? ? ? (N) k k ?
15、? ? 3 (k = 1,2,), ? n (N) k o ?,- ? ? ? (N) k (N) j ? ? ? 3 (k,j N1)7 lim j ? ? ? (N) j ? ? ? = 0 ? ? ? (N) j ? ? ? 3 (j N2 N1)A ? |k| ? ? ? k (N) k ? ? ? + ? ? ? (N) k (N) j ? ? ? + ? ? ? (N) j ? ? ? 0存在存在A的列紧的的列紧的网 证明 必要性显然,只证充分性. 网 证明 必要性显然,只证充分性. 0,设设N是是A 的列紧的的列紧的 2网;网; N0 是是N的有限的有限 2网, 则有网, 则有
16、xA,N,x, 2 N,xN0, x 2 x, xx, +, x 0,xM,fx xn, 1 n 0 ,M的 有限的 的 有限的网. 特别对网. 特别对=1 , 设 , 设 N=x1, x2, , xn , 则有 , 则有 M k=1 n Bxk, 1 . 于是 . 于是 xM , 设 , 设a为空间为空间X的一个固定元. 我们有的一个固定元. 我们有 x, ax, xk +xk, a1 + max 1kn xk, a, 即即M是有界的. 下面说明 是有界的. 下面说明 ekk=1 有界但不完全有界. 首先, 对有界但不完全有界. 首先, 对 k , 2 ek,=1 , 其中 , 其中 =0, 0, , 0, .
