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1、4.1 数学归纳法证明不等式（2） 学习目标：学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点重点：应用数学归纳法证明不等式. 知识情景知识情景： 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n取 时命题 ( 即n 时命题成立) ( (归纳奠基）归纳奠基） ；n 20. 假设当 时命题成立，证明当 n=k1 时命题 ( (归纳递推）归纳递推）. 30. 由 10、20知，对于一切 n的自然数 n 命题 ！( (结论）结论） n 要诀要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 . 数学归纳法的应
2、用：数学归纳法的应用： 例例 1. 求证：，其中，且 2 3 m em1m mN 例例 2 2 已知数列的各项为正，且. n a 1 1 1,(4), 2 nnn aaaanN （1）证明; （2）求数列的通项公式. 1 2, nn aanN n a n a 例例 3 3 (06 湖南）已知函数, 数列满足: ( )sinf xxx n a 11 01,(),1,2,3, nn aaf an 证明: () ; () . 1 01 nn aa 3 1 1 6 nn aa 例例 4 （09 山东）等比数列 n a的前 n 项和为 n S, 已知对任意的nN , 点( ,) n n S均在函 数 (
3、0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 2 2(log1)() nn banN 证明：对任意的nN ，不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 选选修修4-5练习练习 4.1.24.1.2 数学归纳法证明不等式（数学归纳法证明不等式（2 2） 姓名 1 1、正数 a、b、c 成等差数列，当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，试证明：an+cn2bn. 2 2、正数 a、b、c 成等比数列，当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，试证明：an+cn2bn. 3 3、若 n 为大于 1 的自然数，
4、求证：. 11113 12224nnn 4 4、 （05 辽宁）已知函数, 设数列满足， 3 ( )(1) 1 x f xx x n a 11 1,() nn aaf a 满足 n b * 12 |3 |,() nnnn baSbbb nN （）用数学归纳法证明； （）证明. 1 ( 31) 2 n n n b 2 3 . 3 n S 5、 （05 湖北）已知不等式为大于 2 的整数， nn n 其中,log 2 11 3 1 2 1 2 表log2n 示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足n 2 log n a , 4, 3 , 2,),0( 1 1 1 n an na abba n
5、 n n 证明: , 5 , 4, 3, log2 2 2 n nb b an 6、(09 广东 ）已知曲线 22 :20(1,2,) n Cxnxyn从点( 1,0)P 向曲线 n C引斜 率 (0) nn k k 的切线 n l，切点为(,) nnn P xy （1）求数列 nn xy与的通项公式；（2）证明： 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy . 参考答案参考答案: 1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n取第一个值时命题成立( 即n 时命题成立) ( (归纳奠基）归纳奠基） ；n 20. 假设当
6、 n=k 时命题成立，证明当 n=k1 时命题也成立( (归纳递推）归纳递推）. 30. 由 10、20知，对于一切 n的自然数 n 命题都成立！( (结论）结论） n 要诀要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 例例 1 1.求证：，其中，且 2 3 m em1m mN 分析：此题是 2004 年广东高考数学试卷第 21 题的适当变形，有两种证法 证法一：用数学归纳法证明 （1）当 m=2 时， 44 23 2e ，不等式成立 （2）假设 * (2,)mk kkN 时，有 2 3 k ek ，则 2(1)222 36 kk eeek ek ， 2k ，6 3(1)330kk
7、k ，即6 3(1)kk 从而 2(1) 63(1) k ekk ， 即 1mk 时，亦有 2 3 m em 由（1）和（2）知，对 1,mmN 都成立 证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明 22 012 222 3(1 1)3 3 2 (21) 123(1211) 2 123 0 mm mmm emm CCCm mm mmmm mmm 当 1m ，且m N 时， 2 3 m em 例例 2 2（2005 年江西第 21 题第（1）小题，本小题满分 12 分） 已知数列 n a,:的各项都是正数且满足 01 1 1,(4),. 2 nnn aaaanN （1）证明 （2）求数列
8、n a 的通项公式 an. ;, 2 1 Nnaa nn 分析分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。 对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。 解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1当 n=1 时， , 2 3 )4( 2 1 , 1 0010 aaaa 2 10 aa ，命题正确. 2假设 n=k 时有 . 2 1 kk aa 则 111 11 1,(4)(4) 22 kkkkkk nkaaaaaa 时 11111 11 2()()()()(4). 22 kkkkkkkkkk aaaaaaaaaa 而 111 0,40,0. kkkkkk aaaaaa 又
9、 2 1 11 (4)4(2) 2. 22 kkkk aaaa 1 kn 时命题也正确. 由 1、2知，对一切 nN 时有 . 2 1 nn aa 方法二：用数学归纳法证明： 1当 n=1 时， , 2 3 )4( 2 1 , 1 0010 aaaa 20 10 aa ； 2假设 n=k 时有 2 1 kk aa 成立， 令 )4( 2 1 )(xxxf ， )(xf 在0，2上单调递 增， 所以由假设有： ),2()()( 1 fafaf kk ),24(2 2 1 )4( 2 1 )4( 2 1 11 kkkk aaaa 也即当 n=k+1 时 2 1 kk aa 成立，所以对一切 2,
10、1 kk aaNn有 （2）下面来求数列的通项： ,4)2( 2 1 )4( 2 1 2 1 nnnn aaaa 所以 2 1 )2()2(2 nn aa 2, nn ba令 则 21 222221 222 121 111111 ()( )( ) 222222 nn nnnnn bbbbb 又 bn=1，所以 21 1 (), 2 n n b 21 1 22( ) 2 n nn ab 即 本题也可先求出第（2）问，即数列 n a 的通项公式 21 1 2( ) 2 n n a ，然后利用函数 21 1 ( )2( ) 2 x f x 的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式但若这样做，则无
11、形当中加大了第（1）问的难度， 显然不如用数学归纳法证明来得简捷 例例 3 3（06 年湖南卷. 理 .19 本小题满分 14 分） 已知函数 ( )sinf xxx ,数列 n a 满足: 11 01,(),1,2,3,. nn aaf an 证明:() 1 01 nn aa ;() 3 1 1 6 nn aa . 证明: （I） 先用数学归纳法证明0 1 n a ，1,2,3, (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立. (ii).假设当 n=k 时结论成立,即0 1 k a .因为 0x0 成立.于是 3 1 ()0,sin0 6 nnnn g aaaa即 故 3 1 1 6 nn a
12、a 点评：点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用 不 等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识. 例例 4 解(1) :因为对任意的nN ,点( ,) n n S，均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常 数的图像上.所以得 n n Sbr,当1n 时, 11 aSbr, 当2n 时, 111 1 ()(1) nnnnn nnn aSSbrbrbbbb , 又因为 n a为等比数列,所以1r ,公比为b, 1 (1) n n abb （2）当 b=2 时， 11 (1)2 nn
13、 n abb , 1 22 2(log1)2(log 21)2 n nn ban 则 121 2 n n bn bn , 所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 下面用数学归纳法证明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立. 当1n 时,左边= 3 2 ,右边=2,因为 3 2 2 ,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立. 则当1nk时,左边= 112 121 11113 5 721 23 2 4 6
14、222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23(23)4(1)4(1) 11 1(1) 1(1) 1 224(1)4(1)4(1) kkkk kkk kkkk 所以当1nk时,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n S求 n a的基本题型, 并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 练习练习: : 1 1、试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列， 当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，均有：an+cn2bn. 分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包
15、括等差数列、等 比 数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法：本题中使用到结论：(akck)(ac)0 恒成立(a、b、c 为正数)，从而 ak+1+ck+1akc+cka. 2.2.证明：(1)设 a、b、c 为等比数列，a=,c=bq 0 且 q1) b q an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn n n b q 1 n q (2)设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想()n(n2 且 nN*) 2 nn ac 2 ac 下面用数学归纳法证明： 当 n=2 时，由 2(a2+c2)(a+c)2， 22 2 () 22 acac 设 n=k 时成立，即() , 22 kk k acac 则当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck
