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1、 1 1、集合的概念：某些、集合的概念：某些研究对象研究对象的全体叫集合，用的全体叫集合，用大写大写字母表示；集合中的字母表示；集合中的每个对象每个对象叫做这个集合的叫做这个集合的 元素，用元素，用小写小写字母表示；字母表示； 2、集合的表示方法有：（、集合的表示方法有：（1）列举列举法（把集合的所有元素一一列举并写在大括号内）法（把集合的所有元素一一列举并写在大括号内） ； （2）描述描述法（把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内）法（把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内） ； 3、集合中元素的特征有、集合中元素的特征有无序性、互异性、确定性无序性、互异性、确定性； 4、元素与集合
2、的关系有：、元素与集合的关系有：属于（属于（）和和不属于（不属于（） ； 5、集合分类：、集合分类： （1）把不含任何元素的集合叫做）把不含任何元素的集合叫做空集（空集（） ； （2）含有有限个元素的集合叫做）含有有限个元素的集合叫做有限集有限集； （3）含有无穷个元素的集合叫做）含有无穷个元素的集合叫做无限集无限集； 6、常用数集及其记法：、常用数集及其记法： （1）自然数集）自然数集：记作：记作； （2）正整数集）正整数集：记作：记作；0,1,2,3,N1,2,3,NN 或 （3）整数集）整数集：记作：记作；（；（4）有理数（包括整数和分数）集：记作）有理数（包括整数和分数）集：记作；3,
3、 2, 1,0,1,2,3,ZQ （5）实数（包括有理数和无理数）集：记作）实数（包括有理数和无理数）集：记作；R 7、集合与集合的关系有：、集合与集合的关系有：子集子集（包含于，（包含于，） 、真子集真子集（真包含于，（真包含于， ） 、相等相等（=） ； 8、子集的概念：如果集合、子集的概念：如果集合 A 中的每一个元素都是集合中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合中的元素，那么集合 A 叫做集合叫做集合 B 的的子集子集， 记作记作；AB 9、真子集的概念：若集合、真子集的概念：若集合 A 是集合是集合 B 的子集，且的子集，且 B 中至少有一个元素不属于中至少有一个元素不属于
4、A,那么集合那么集合 A 叫做集合叫做集合 B 的的真子集真子集，记作，记作 ；（真子集是除本身以外的子集）；（真子集是除本身以外的子集） AB 10、子集、真子集的性质：、子集、真子集的性质： （1）传递性：若）传递性：若，则，则；BA CB AC （2）空集是任意集合的）空集是任意集合的子集子集，是任意非空集合的，是任意非空集合的真子集真子集； （3）任何一个集合是它本身的）任何一个集合是它本身的子集子集；（在写子集时首先注意两个特殊的子集；（在写子集时首先注意两个特殊的子集-空集和它本身）空集和它本身） 2 11、集合相等：、集合相等： （1）若集合）若集合 A 中的元素与集合中的元素与
5、集合 B 中的中的元素完全相同元素完全相同，则称集合，则称集合 A 等于集合等于集合 B,记作记作；AB （2）（即互为子集）（即互为子集） 。 BAABBA, 12、n个元素的集合其子集个数共有个元素的集合其子集个数共有个；真子集有个；真子集有个（比子集少了它本身）个（比子集少了它本身） ；)(Nn2n21 n 非空子集有非空子集有个；非空的真子集有个；非空的真子集有个；个；21 n 22 n 13、集合的运算：、集合的运算： （1）交交集（集（公共公共元素）元素） ：ABx|xA 且且 xB； （2）并并集（集（所有所有元素）元素） ：ABx|xA 或或 xB； （3）补补集（集（剩余剩余
6、元素）元素） ：x| 且且 xU，U 为全集。为全集。ACUxA 14、集合运算中常用的结论、集合运算中常用的结论: ； ；ABABAABABB ； 。AAAAAA;AAA 注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯，在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯，在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使 用用. 1515、函数的概念：设、函数的概念：设 A、B 是是非空的数集非空的数集，如果按照某种确定的，如果按照某种确定的对应关系对应关系，使对于集合，使对于集合 A 中的中的任意任意f 一个数一个数，在集合，在集合 B 中都有中都有唯一确定的数唯
7、一确定的数和它对应，那么就称和它对应，那么就称：AB 为从集合为从集合 A 到集合到集合x( )f xf B 的一个函数。记作：的一个函数。记作：。其中：。其中：叫做叫做自变量自变量，的取值范围的取值范围 A 叫做函数的叫做函数的定义定义( ),yf x xAxx 域域；与；与的值相对应的的值相对应的值叫做值叫做函数值函数值，函数值的集合叫做函数的，函数值的集合叫做函数的值域值域。xy 注意；我们现在用符号注意；我们现在用符号来表示函数，其中来表示函数，其中表示与表示与对应的函数值，而不是对应的函数值，而不是乘乘。( )yf x( )f xxfx 16、求函数定义域的方法：（、求函数定义域的方
8、法：（1）分式）分式中分母中分母；（；（2）二次根式）二次根式中被开方式中被开方式 1 ( )f x ( )0f x ( )f x ；（；（3）对数式）对数式中底数中底数，真数，真数；（；（4）有几）有几( )0f x ( ) log( ) f x g x( )0( )1f xf x且( )0g x 个特殊运算时取其公共部分（交集）个特殊运算时取其公共部分（交集） ；（；（5）函数的任何问题的处理都要注意）函数的任何问题的处理都要注意定义域优先原则定义域优先原则。 3 1717、求函数解析式的常用方法：（、求函数解析式的常用方法：（1 1）待定系数法（针对格式化定义的函数）待定系数法（针对格式
9、化定义的函数）-设、代、解、代；设、代、解、代； （2 2）换元法（针对复合型函数）换元法（针对复合型函数） ；（；（3 3）配方法（针对二次型函数）配方法（针对二次型函数） 。 1818、区间的概念：、区间的概念： （设（设是两个实数且是两个实数且） （1 1）闭区间：）闭区间：；（；（2 2）, a bab,x axba b 开区间：开区间：；（；（3 3）半开半闭区间：）半开半闭区间：；,x axba b,x axba b ；（；（4 4）实数集）实数集可以用区间可以用区间表示。表示。,x axba bR(,) 19、同一函数：如果两个函数的定义域值域和对应关系完全相同，即称这两个函数相
10、等（或者说是同、同一函数：如果两个函数的定义域值域和对应关系完全相同，即称这两个函数相等（或者说是同 一函数）一函数） 。 20、函数的三种表示法是：解析法；图象法；列表法。、函数的三种表示法是：解析法；图象法；列表法。 2121、分段函数：按自变量、分段函数：按自变量取值的不同情况将函数的对应关系（或者是解析式）用不同的式子分段表取值的不同情况将函数的对应关系（或者是解析式）用不同的式子分段表x 示的函数，处理的方法是示的函数，处理的方法是分段处理分段处理；复合函数的处理方法是；复合函数的处理方法是从里向外从里向外层层剥离。层层剥离。 22、函数的单调性：（、函数的单调性：（1）增函数增函数
11、定义：若定义：若，有，有；增函数图象上升（；增函数图象上升（同同 12 xxD 12 ()()f xf x 增增） 。 （2）减函数减函数定义：若定义：若，有，有；减函数图象下降（；减函数图象下降（异减异减） 。 12 xxD 12 ()()f xf x （3）用定义法证明（或判断）函数）用定义法证明（或判断）函数 f(x)在给定的区间在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：上的单调性的一般步骤： 取值：取值： 任取两个任取两个 x1，x2D，且，且 x10, c1)logloglog aba bcc ； 特殊的对数：常用对数（以特殊的对数：常用对数（以 1010 为底的对数）为底的对数） ，
12、简记为简记为； 10 logNlg N 自然对数（以无理数自然对数（以无理数为底的对数）为底的对数） ，简记为简记为；2.71828e logeNln N 对数函数：（对数函数：（1）定义式：函数）定义式：函数叫做对数函数。叫做对数函数。log(0,1) a yx aa （2）对数函数的图象和性质：）对数函数的图象和性质： 1a10 a 图图 象象 （1）定义域）定义域，值域为，值域为。(0,)R （2）图象都经过点）图象都经过点，即当，即当1 时，时，0。(1,0)xy 当当时，时，； 1x0y 当当时，时，。10 x0y 当当时，时，； 1x0y 当当时，时，。10 x0y 性性 质质 在
13、在上是上是 增增 函数。函数。, 0在在上是上是 减减 函数。函数。, 0 28、幂函数、幂函数 幂函数的定义：形如幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数（的函数叫做幂函数（为常数，为常数，是自变量）是自变量） 。yxx 性质：当性质：当时，幂函数图象都过点时，幂函数图象都过点点、且在第一象限都是点、且在第一象限都是增增函数；当函数；当时，时，0(0,0),(1,1)0 幂函数图象总是经过点幂函数图象总是经过点点、且在第一象限都是点、且在第一象限都是减减函数。函数。(1,1) 7 29、函数与方程的关系：（、函数与方程的关系：（1）函数的零点的概念：对于函数）函数的零点的概念：对于函数，我们把使方
14、程，我们把使方程的的( )yf x( )0f x 实数实数叫做函数叫做函数的零点。即函数的零点。即函数有零点有零点方程方程有解有解函数函数x( )yf x( )yf x( )0f x 的图象与的图象与轴有交点。轴有交点。 （结合函数的图象用数形结合法求解）（结合函数的图象用数形结合法求解）( )yf xx （2）零点存在的条件：如果函数）零点存在的条件：如果函数在区间在区间上的图象是连续的曲线，则函数上的图象是连续的曲线，则函数( )yf x, a b 在区间在区间上存在零点的条件是上存在零点的条件是；( )yf x, a b( )( )0f af b （3）求函数）求函数零点的方法：零点的方
15、法：直接解方程直接解方程；利用图象求其与利用图象求其与轴的交点（交点轴的交点（交点( )yf x( )0f x x 的横坐标即是零点）的横坐标即是零点） ；将方程将方程变为两个函数，通过图象看它们的交点情况（同时可以知道变为两个函数，通过图象看它们的交点情况（同时可以知道( )0f x 零点的个数）零点的个数） ；可通过二分法求函数的零点的近似值。可通过二分法求函数的零点的近似值。 结束语：希望同学们认真复习，争取在期中考试中取得好成绩，开心过好高一每一天！结束语：希望同学们认真复习，争取在期中考试中取得好成绩，开心过好高一每一天！ 请记住：不拼不博，等于白活；付出才有回报！请记住：不拼不博，等于白活；付出才有回报！ 祝大家学习进步！祝大家学习进步！
