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1、1 x AOQ P B y 动点问题题型方法归纳动点问题题型方法归纳 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与 特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特 殊位置。 ） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点一、三角形边上动点 1、 （2009 年齐齐哈尔市）直线与坐标轴分别交于两点，动点同 3 6 4 yx AB、PQ、 时从点出发，
2、同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒 1 个单OAQOA 位长度，点沿路线运动POBA （1）直接写出两点的坐标；AB、 （2）设点的运动时间为 秒，的面积为，求出与 之间的函数关系式；QtOPQSSt （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的 48 5 S POPQ、 第四个顶点的坐标M 提示：第（2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点 O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已 知线段身份不同分类-OP 为边、OQ 为边，OP 为边、OQ 为对角线， 2 图 （3） AB C OE F A B C OD 图 （1） A
3、B O E F C 图 （2） OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、 （2009 年衡阳市）如图，AB 是O 的直径，弦 BC=2cm，ABC=60 （1）求O 的直径； （2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与O 相切； （3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为，连结 EF，当 为何值时，)20)( tstt BEF 为直角三角形 注意：第（3）问按直角位置分类讨论 3 x y M C D P
4、 QO A B P Q A B C D 3、 （2009 重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛(1)23 3(0)ya xa( 2)A ，0 物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点DOOMADDxOM ，在轴正半轴上，连结CBxBC （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点从点出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的POOMP 时间为问当 为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？( )t stDAOP （3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒 1 个长度OCOBPQOB 单位和 2 个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点
5、也随之OCBO 停止运动设它们的运动的时间为，连接，当 为何值时，四边形的面积t( ) sPQtBCPQ 最小？并求出最小值及此时的长PQ 注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 当OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。 二、二、特殊四边形边上动点特殊四边形边上动点 4、 （2009 年吉林省）如图所示，菱形的边长为 6 厘米，从初始时刻开ABCD60B 始，点、同时从点出发，点以 1 厘米/秒的速度沿的方向运动，点PQAPACB 以 2 厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两QABCDQDPQ 点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为PQxAPQABC
6、平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形） ，解答下列问题： yO （1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；PQ （2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 PQAPQx 秒； （3）求与之间的函数关系式yx 4 O M BH A C x y 图 （1） O M BH A C x y 图 （2） 提示：第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ； 提醒- 高相等的两个三 角形面积比等于底边的比 。 5、 （2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱 形，点 A 的坐标为（3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上
7、，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC 的解析式； （2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终 点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（0S ） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的 函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与 直线 AC 所夹锐角的正切值 注意：第（2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类； 第（3）问发现MBC=90，BCO 与ABM 互余，画出点 P
8、运动过程中， MPB=ABM 的两种情况，求出 t 值。 利用 OBAC,再求 OP 与 AC 夹角正切值. 5 6、(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 A(，0)，B(3，2)，33 C（0，2)动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每 秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作 EF 上 AB，交 BC 于点 F，连结 DA、DF设运动时间为 t 秒 (1)求ABC 的度数； (2)当 t 为何值时，ABDF； (3)设四边形 AEFD 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式； 若一抛物
9、线 y=x2+mx 经过动点 E，当 S2时，求 m 的取值范围(写出答案即可)3 注意：发现特殊性，DEOA 7、 （07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，且 AOC=60，点 B 的坐标是，点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线(0,8 3) 段 CB 上向点 B 移动，同时，点 Q 从点 O 开始以每秒 a（1a3）个单位长度的速度沿 射线 OA 方向移动，设秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D.(08)tt （1）求AOB 的度数及线段 OA 的长； （2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （3）当时，求 t 的值及此时直线 P
10、Q 的解析式； 4 3,3 3 aOD （4）当a为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，OAB 以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.OAB 6 8、 （08 黄冈）已知：如图，在直角梯形中，以为原点建立平面直COABOCABO 角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中ABC，(8 0)(810)(0 4)ABC，DBC 点，动点从点出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时POOABD 间为 秒t （1）求直线的解析式；BC （2）若动点在线段上移动，当 为何值时，四边形的面积是梯形面POAtOPDCCOAB 积
11、的？ 2 7 （3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请POOABDOPDS 直接写出与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；Stt （4）当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为PABOAQCQPD 矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由P B ACD P O Q x y A B D C OPx y A B D C Ox y （此题备用） 7 9、(09 年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点 2 14 10 189 yxx 为点 A,与 y 轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有 两动点P,Q
12、分别从 O,C两点同时出发,点P以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点A移动,点 Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段 OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当 0t时,PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; 9 2 (4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答过程 提示：第（3）问用相似比的代换， 得 PF=OA
13、（定值） 。 第（4）问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF. 8 y O x C N B P MA 三、三、直线上动点直线上动点 8、 （2009 年湖南长沙）如图，二次函数（）的图象与轴交于 2 yaxbxc0a x 两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、AB、yCACBCAC、，、( 3 0)A ， ，且当和时二次函数的函数值相等(03)C，4x 2x y （1）求实数的值；abc， （2）若点同时从点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿边运动，MN、BBABC、 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 秒时，连结，将tMN 沿翻折， 点恰好落
14、在边上的处，求 的值及点的坐标； BMNMNBACPtP （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项QBNQ， 点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由ABCQ 提示：第（2）问发现 特殊角CAB=30,CBA=60 特殊图形四边形 BNPM 为菱形； 第(3)问注意到ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与ABC 相似的 BNQ ，再判断是否在对称轴上。 9、 （2009 眉山）如图，已知直线与轴交于点 A，与轴交于点 D，抛物线 1 1 2 yxyx 9 与直线交于 A、E 两点，与轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 (1
15、，0)。 2 1 2 yxbxcx 求该抛物线的解析式； 动点 P 在 x 轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。 在抛物线的对称轴上找一点 M，使的值最大，求出点 M 的坐标。|AMMC 提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形-P 为直角顶点 AE 为斜边时，以 AE 为直径画圆与 x 轴交点即为所求点 P，A 为直角顶点时，过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P，E 为直角顶点时，作法同； 第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。 10、 （2009 年兰州）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10） ， （8，4） ，
16、 点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同 时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运 动的时间为t秒 (1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数x 图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标； (3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； 10 (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等， 若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 注意：第（4）问按点 P 分别在 AB、BC、CD 边上分类讨论；求 t 值时，灵活运用等腰三 角形“三线合一” 。 11、 （2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为xOy ，延长 AC 到点 D,使 CD=,过点 D 作 DEA
