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1、1 x AOQ P B y 动点问题题型方法归纳动点问题题型方法归纳 动态几何特点-问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与 特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特 殊位置。 ) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点一、三角形边上动点 1、 (2009 年齐齐哈尔市)直线与坐标轴分别交于两点,动点同 3 6 4 yx AB、PQ、 时从点出发,
2、同时到达点,运动停止点沿线段运动,速度为每秒 1 个单OAQOA 位长度,点沿路线运动POBA (1)直接写出两点的坐标;AB、 (2)设点的运动时间为 秒,的面积为,求出与 之间的函数关系式;QtOPQSSt (3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的 48 5 S POPQ、 第四个顶点的坐标M 提示:第(2)问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类; 第(3)问是分类讨论:已知三定点 O、P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已 知线段身份不同分类-OP 为边、OQ 为边,OP 为边、OQ 为对角线, 2 图 (3) AB C OE F A B C OD 图 (1) A
3、B O E F C 图 (2) OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。 2、 (2009 年衡阳市)如图,AB 是O 的直径,弦 BC=2cm,ABC=60 (1)求O 的直径; (2)若 D 是 AB 延长线上一点,连结 CD,当 BD 长为多少时,CD 与O 相切; (3)若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以 1cm/s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动,设运动时间为,连结 EF,当 为何值时,)20)( tstt BEF 为直角三角形 注意:第(3)问按直角位置分类讨论 3 x y M C D P
4、 QO A B P Q A B C D 3、 (2009 重庆綦江)如图,已知抛物线经过点,抛(1)23 3(0)ya xa( 2)A ,0 物线的顶点为,过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点DOOMADDxOM ,在轴正半轴上,连结CBxBC (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点从点出发,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的POOMP 时间为问当 为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?( )t stDAOP (3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒 1 个长度OCOBPQOB 单位和 2 个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点
5、也随之OCBO 停止运动设它们的运动的时间为,连接,当 为何值时,四边形的面积t( ) sPQtBCPQ 最小?并求出最小值及此时的长PQ 注意:发现并充分运用特殊角DAB=60 当OPQ 面积最大时,四边形 BCPQ 的面积最小。 二、二、特殊四边形边上动点特殊四边形边上动点 4、 (2009 年吉林省)如图所示,菱形的边长为 6 厘米,从初始时刻开ABCD60B 始,点、同时从点出发,点以 1 厘米/秒的速度沿的方向运动,点PQAPACB 以 2 厘米/秒的速度沿的方向运动,当点运动到点时,、两QABCDQDPQ 点同时停止运动,设、运动的时间为秒时,与重叠部分的面积为PQxAPQABC
6、平方厘米(这里规定:点和线段是面积为的三角形) ,解答下列问题: yO (1)点、从出发到相遇所用时间是 秒;PQ (2)点、从开始运动到停止的过程中,当是等边三角形时的值是 PQAPQx 秒; (3)求与之间的函数关系式yx 4 O M BH A C x y 图 (1) O M BH A C x y 图 (2) 提示:第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ; 提醒- 高相等的两个三 角形面积比等于底边的比 。 5、 (2009 年哈尔滨)如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱 形,点 A 的坐标为(3,4) ,点 C 在 x 轴的正半轴上
7、,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H (1)求直线 AC 的解析式; (2)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终 点 C 匀速运动,设PMB 的面积为 S(0S ) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的 函数关系式(要求写出自变量 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,MPB 与BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与 直线 AC 所夹锐角的正切值 注意:第(2)问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类; 第(3)问发现MBC=90,BCO 与ABM 互余,画出点 P
8、运动过程中, MPB=ABM 的两种情况,求出 t 值。 利用 OBAC,再求 OP 与 AC 夹角正切值. 5 6、(2009 年温州)如图,在平面直角坐标系中,点 A(,0),B(3,2),33 C(0,2)动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动,同时动点 E 以每 秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作 EF 上 AB,交 BC 于点 F,连结 DA、DF设运动时间为 t 秒 (1)求ABC 的度数; (2)当 t 为何值时,ABDF; (3)设四边形 AEFD 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式; 若一抛物
9、线 y=x2+mx 经过动点 E,当 S2时,求 m 的取值范围(写出答案即可)3 注意:发现特殊性,DEOA 7、 (07 黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCO 是菱形,且 AOC=60,点 B 的坐标是,点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线(0,8 3) 段 CB 上向点 B 移动,同时,点 Q 从点 O 开始以每秒 a(1a3)个单位长度的速度沿 射线 OA 方向移动,设秒后,直线 PQ 交 OB 于点 D.(08)tt (1)求AOB 的度数及线段 OA 的长; (2)求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式; (3)当时,求 t 的值及此时直线 P
10、Q 的解析式; 4 3,3 3 aOD (4)当a为何值时,以 O,P,Q,D 为顶点的三角形与相似?当a 为何值时,OAB 以 O,P,Q,D 为顶点的三角形与不相似?请给出你的结论,并加以证明.OAB 6 8、 (08 黄冈)已知:如图,在直角梯形中,以为原点建立平面直COABOCABO 角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中ABC,(8 0)(810)(0 4)ABC,DBC 点,动点从点出发,以每秒 1 个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时POOABD 间为 秒t (1)求直线的解析式;BC (2)若动点在线段上移动,当 为何值时,四边形的面积是梯形面POAtOPDCCOAB 积
11、的? 2 7 (3)动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请POOABDOPDS 直接写出与 的函数关系式,并指出自变量 的取值范围;Stt (4)当动点在线段上移动时,能否在线段上找到一点,使四边形为PABOAQCQPD 矩形?请求出此时动点的坐标;若不能,请说明理由P B ACD P O Q x y A B D C OPx y A B D C Ox y (此题备用) 7 9、(09 年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点 2 14 10 189 yxx 为点 A,与 y 轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有 两动点P,Q
12、分别从 O,C两点同时出发,点P以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点A移动,点 Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段 OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当 0t时,PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; 9 2 (4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答过程 提示:第(3)问用相似比的代换, 得 PF=OA
13、(定值) 。 第(4)问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF. 8 y O x C N B P MA 三、三、直线上动点直线上动点 8、 (2009 年湖南长沙)如图,二次函数()的图象与轴交于 2 yaxbxc0a x 两点,与轴相交于点连结两点的坐标分别为、AB、yCACBCAC、,、( 3 0)A , ,且当和时二次函数的函数值相等(03)C,4x 2x y (1)求实数的值;abc, (2)若点同时从点出发,均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿边运动,MN、BBABC、 其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动当运动时间为 秒时,连结,将tMN 沿翻折, 点恰好落
14、在边上的处,求 的值及点的坐标; BMNMNBACPtP (3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点,使得以为项QBNQ, 点的三角形与相似?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由ABCQ 提示:第(2)问发现 特殊角CAB=30,CBA=60 特殊图形四边形 BNPM 为菱形; 第(3)问注意到ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与ABC 相似的 BNQ ,再判断是否在对称轴上。 9、 (2009 眉山)如图,已知直线与轴交于点 A,与轴交于点 D,抛物线 1 1 2 yxyx 9 与直线交于 A、E 两点,与轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为 (1
15、,0)。 2 1 2 yxbxcx 求该抛物线的解析式; 动点 P 在 x 轴上移动,当PAE 是直角三角形时,求点 P 的坐标 P。 在抛物线的对称轴上找一点 M,使的值最大,求出点 M 的坐标。|AMMC 提示:第(2)问按直角位置分类讨论后画出图形-P 为直角顶点 AE 为斜边时,以 AE 为直径画圆与 x 轴交点即为所求点 P,A 为直角顶点时,过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P,E 为直角顶点时,作法同; 第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。 10、 (2009 年兰州)如图,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10) , (8,4) ,
16、 点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿ABCD匀速运动,同 时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运 动的时间为t秒 (1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数x 图象如图所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度; (2)求正方形边长及顶点C的坐标; (3)在(1)中当t为何值时,OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标; 10 (4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿ABCD匀速运动时,OP与PQ能否相等, 若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由 注意:第(4)问按点 P 分别在 AB、BC、CD 边上分类讨论;求 t 值时,灵活运用等腰三 角形“三线合一” 。 11、 (2009 年北京市)如图,在平面直角坐标系中,ABC 三个顶点的坐标分别为xOy ,延长 AC 到点 D,使 CD=,过点 D 作 DEA