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1、现代电路与系统,第二章非正弦周期稳态电路分析,武汉理工大学 信息工程学院,本章目录,2.1 引言 2.2 非正弦周期函数分解傅里叶级数 2.3 非正弦周期性电量的有效值与平均值，平均功率 2.4 非正弦周期性稳态电路分析 2.5 对称三相非正弦周期电流电路,现代电路与系统,周期性非正弦稳态电路分析,2.1 引言,正弦稳态分析,电路中产生非正弦周期变化电压、电流的原因,(1) 电源提供的电压或电流是非正弦周期变化的,现代电路与系统,(3) 电路中含有非线性元件,(2) 一个电路中有两个或两个以上不同频率的电源作用,现代电路与系统,本章的讨论对象及处理问题的思路,（稳态分析）,(2) 线性时不变电
2、路 叠加定理适用,电源中不同频率成分的正弦波分别作用于电路,(3) 电路中含有非线性元件,现代电路与系统,2.2 非正弦周期函数分解傅里叶级数,A0 常数项 （直流分量）, 基波角频率,k 整数,现代电路与系统,奇函数 ( odd function ) 信号波形对称于原点， 即 f (t) = f(t) 对于奇函数级数中的系数,A0=0,Ckm=0,现代电路与系统,偶函数 ( even function ) 信号波形相对于纵轴是对称的 即 f (t) =f(t) 对于偶函数级数中的系数为,Bkm=0,现代电路与系统,奇谐函数 ( odd harmonic function或半波对称函数) 信号
3、波形的后半周期是前半周期的镜像 即,奇谐函数的傅里叶展开式中不含直流及偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。其傅里叶系数为,A0=0,Ckm=0,Bkm=0,k=2,4,6,现代电路与系统,偶谐函数 ( even harmonic function) 信号波形平移半个周期后得到的波形与原波形重合 即满足 本例偶谐函数是经过全波整流后得到的电流,偶谐函数的傅里叶展开式中不含奇次谐波分量，只含偶次谐波分量。其傅里叶系数为,Ckm=0,Bkm=0,k=1,3,5,现代电路与系统,2.3 非正弦周期性电量的有效值与平均值，平均功率,(1) 电压和电流的有效值,各次谐波的平方：U20，u2k(t),不同次谐波
4、的乘积： Ukmsin(kt+k )Uqmsin(qt+q ),现代电路与系统,(2) 电压和电流的平均值与均绝值,1、平均值,定义,2、均绝值,定义,问题,与平均值的关系,例 正弦波经全波和半波整流后的平均值,全波 Uav=0.9U,半波 Uav=0.45U,现代电路与系统,(3) 平均功率,同次谐波电压与电流的乘积 uk(t)ik(t),不同次谐波电压与电流的乘积 uk(t)iq(t),结论：不同次谐波电压、电流乘积积分为0，不能构成平均功率,所以,现代电路与系统,视在功率，功率因数，有功功率，三者关系是什么？ 在很多电路中，不只有电阻，还有电感和电导。这两种东西本身不消耗能量，只是储存或
5、放出能量。,例如：某个机器内部有电阻、电感和电导。 视在功率就是输入电流乘上机器上加的电压。 有功功率就是消耗在机器内部电阻上的功率。 视在功率乘以cos A等于有功功率，其中A就是功率因数，一般用百分数表示。一般希望功率因素越高越好。,现代电路与系统,什么叫功率因数？ 功率因数是衡量电器设备效率高低的一个系数。它是交流电路中有功功率与视在功率的比值 即 功率因数=有功功率/视在功率 其大小与电路的负荷性质有关，如白炽灯，电阻炉等电热设备，功率因数为1，对具有电感的电器设备如日光灯、电动机等，功率因数小于1，从功率三角形的图中，运用数学三角关系可得出： 有功功率P=U.I.cos cos即为功
6、率因数。 功率因数低，说明电路中用于交变磁场吞吐转换的无功功率大，从而降低了设备的利用率，增加了线路供电损失。,现代电路与系统,如何提高功率因数？ 常用的方法就是在电感性电器两端并联静电电容 器，如图C所示：这样将电压电路所需的无功功率，大部分转交由电容器供给，把交变磁场与电源的吞吐转变磁场与电容电场之间吞吐，从而使发电机电源能量得到充分利用，所以说提高功率因数具有很大的经济意义。,现代电路与系统,(4) 视在功率与功率因数,cos1,现代电路与系统,当周期函数作用于线性定常电路，由于线性电路满足齐次性、可加性，因此可以使用叠加原理。 对于不同频率正弦波电路的谐波阻抗各不相同。 结论：叠加原理
7、和谐波阻抗是非正弦周期波激励下的线性定常电路稳态分析的核心和重点。,2.4 非正弦周期性稳态电路分析,现代电路与系统,非正弦周期激励下线性电路稳态响应解题步骤如下： 1.将非正弦周期量分解为傅立叶级数 即将其分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和 2.求每一分量单独作用下电路的稳态响应分量 在直流分量作用时：电容开路，电感短路。 各不同频率正弦分量单独作用时，对应电路的相量模型中的参数将是不同的。 3.将上述的各个响应分量叠加 注意叠加必须在时域进行，此时相量不能叠加。,注意：感抗和容抗的变化,现代电路与系统,1.4 非正弦周期性稳态电路分析,现代电路与系统,L 短路 C 开路,1.4 非
8、正弦周期性稳态电路分析,现代电路与系统,解：由附表12-1典型周期函数的傅里叶级数展开式得,=100 66.7cos2t 13.3cos4t,=2 /T=314 rad/s,例1 图示全波整流器的输出电压u1(t)，Um=157V，T=0.02s，通 过LC滤波电路作用于负载R，L=5H，C=10F，R= 2k。 求负载两端电压u2(t)及其有效值。谐波电压考虑到4次谐波。,现代电路与系统,u1(t) =100 66.7cos2t 13.3cos4t,=2 /T=314 rad/s,直流分量单独作用：,U20=100V,L=5H，C=10F，R= 2k,现代电路与系统,二次谐波单独作用：,现代
9、电路与系统,= 0.172.3,u2(t)=100+3.55cos(2t+4.8)+0.17cos(4t+2.3),小结：,谐波阻抗,瞬时值叠加,现代电路与系统,例2 图示电路中，u(t)=60+282sint+169sin(2t22.5)V, R=10, =40, L2=20, L3=20, =20 求电流表的读数及电源提供的功率。,解：直流分量单独作用：,I0=IA0=60/10=6 A,P0=606=360 W,直流等效电路,现代电路与系统,u(t)=60+282sint+169sin(2t22.5)V,基波分量单独作用：,P1=0,基波分量单独作用：,现代电路与系统,=5479.4,P
10、2=1202.22cos(79.4)=49W,=2.42+j3.71,= 0.403j0.618,=5.1756.9,现代电路与系统,P=P0+P1+P2=409 W,或 P=10I2=10(62+2.222 )=409 W,现代电路与系统,例3 已知u=18sin(t30)+ 18sin3t+9sin(5t+90)V ， R=6， L=2，1/C=18，求电压表和功率表的读数。,解：基波电源单独作用：,P1=0.518 1.05cos(69.4)=3.32W,基波等效电路,现代电路与系统,U5m,6,j10,+,-j3.6,+,I5m,990,6,j6,+,-j6,+,I3m,180,三次谐
11、波电源单独作用：,P3=0.5 18 3=27W,五次谐波电源单独作用：,P5=0.591.03cos46.8 =3.32W,三次谐波等效电路,五次谐波等效电路,现代电路与系统,P=P1+P3+P5=33.5W,电压表读数,功率表读数,现代电路与系统,4、图示电路中，us1=50 sin100t+25 sin200t V， us2=50 sin200t V。求稳态电流i1、i2和各电源提 供的功率。,解：=100rad/s的电源作用,=3.5445,P11=503.54cos45=125W,现代电路与系统,=200rad/s的电源作用,=0.687106,P12=250.687cos(106)
12、 = 4.73W,P22=500.687cos74 = 9.47W,P1=125 4.73=120.3W,P2=9.47W,现代电路与系统,三相非正弦周期交流电压波形分析 对于三相交流发电机产生的电压波形严格地说是非正弦周期波，除了主要成分基波正弦量以外，还含有奇次的高次谐波正弦量，但三相交流电仍然是对称的，波形完全相同，相位彼此相差120,2.5 对称三相非正弦周期电流电路,现代电路与系统,三相非正弦周期交流电压波形特点 三相负载相同 三相电源幅值相同 三相电源周期相同 同一相位点在时间上依次相差T/3,2.5 对称三相非正弦周期电流电路,uA(t)=f(t),uB(t)=f(tT/3),u
13、C(t)=f(t2T/3),现代电路与系统,对于此电路基本处理方法？,特殊问题？,(1) 对称三相非正弦周期电量的分解,奇谐波函数 f(t)= f(t T/2) 的富里叶级数的特点,不含常数项和偶次谐波项,现代电路与系统,(1) 对称三相非正弦周期电量的分解,现代电路与系统,(1) 对称三相非正弦周期电量的分解,1、基波电源作用于电路,uA1(t)=U1msin(t+1),uB1(t) =U1msin(t120+1 ),uC1(t) =U1msin(t240+1 ),正序对称三相电源,现代电路与系统,(1) 对称三相非正弦周期电量的分解,2、三次谐波电源作用于电路,uA3(t)=U3msin(
14、3t+3),uB3(t)= U3msin(3t+3 ),uC3(t)= U3msin(3t+3 ),零序对称三相电源,现代电路与系统,3、五次谐波电源作用于电路,(1)对称三相非正弦周期电量的分解,uA5(t)=U5msin(5t+5),uB5(t)= U5msin(5t240+5 ),uC5(t)= U5msin(5t120+5 ),负序对称三相电源,现代电路与系统,(2) 对称三相非正弦周期电流电路中的零序谐波,1、线电压中不含零序谐波,(1) Y连接,uAB= uAuB,零序分量全部抵消!,现代电路与系统,2.5.2 对称三相非正弦周期电流电路中的零序谐波,1、线电压中不含零序谐波,(2
15、) 连接,由KCL和对称性,现代电路与系统,(2) 对称三相非正弦周期电流电路中的零序谐波,2、中线仅有零序谐波电流,1、线电压中不含零序谐波,现代电路与系统,(2) 对称三相非正弦周期电流电路中的零序谐波,1、线电压中不含零序谐波,2、中线仅有零序谐波电流,中性点间的电压,若无中线（ZN3q = ）,现代电路与系统,例1图示对称三相电路中，uA= sint+ sin3t+ sin5tV， 其中Um=380V， =314rad/s，Z=R+jL=(3+j6)，ZN=RN +jLN=(1+j2)，求中线电流和负载相电流的有效值。,=32.563.4,现代电路与系统,Z3= R+j3L =(3+j
16、18),ZN3=RN+j3LN =(1+j6),现代电路与系统,Z5=R+j5L =(3+j30),IN=3 A,Iph=(32.52+12+0.22 )0.5=32.5 A,现代电路与系统,例2 对称三相发电机的电压为如图(a)所示的对称梯形波，电机每相绕组的电阻r=2，电抗XL=L=10。当电机绕组接成三角形时，如图(b)所示，电流表的读数将为多少？当绕组接成星形时，如图(c)所示，电压表V2、V3的读数将各为多少？已知三角形连接时，V1的读数为2200V（电压表和电流表都是电磁式仪表，计算时取至5次谐波）。,现代电路与系统,电流表读数：,电压表V2的读数：,电压表V3的读数：,U5=0.024400=88V,U1=0.54400=2200V,现代电路与系统,现代电路与系统,直流分量单独作用：电路工作于零序对称，无中线,各相电流为零,P0=0,线电压
