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1、任意角的三角函数（2） 一、教学内容分析 本节课的教学内容是普通高中课程标准实验教科书数学（4） （人教 A 版） 。三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用. 直角三角形简单朴素的边角关系， 以直角坐标系为工具进行自然地推广而得 到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然 地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图 象和性质。 三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好， 将直 接影响到后续内容的学习， 由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节 教材的重点就是定义本身. 二、学生学习情况分析 在初中
2、学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说， 有比较厚 实的基础， 新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的 概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？ 通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、 动手实践、 合作交 流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生 主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合” 的方法组织教学 . 四、教学目标 1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（
3、包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号） ； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立 映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、 通过单位圆和角的终边 , 探讨任意角的三角函数值的求法, 最终得到任意角三 角函数的定义 . 根据角终边所在位置不同, 分别探讨各三角函数的定义域以及这 三种函数的值在各象限的符号. 借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例， 加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展 思维空间。通过学生积极参
4、与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测 的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 五、教学重点和难点 重点:任意角的正弦、 余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号） ；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点:任意角的正弦、 余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号） ； 六、教学过程设计 教学过程 一、复习引入、回想再认 （情景 1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余 弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？ 学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调： 设计意
5、图： 学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数， 又是 一种推广和拓展的过程 （类似于从有理数到实数的扩展）. 温故知新， 要让学生 体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对 锐角三角函数的复习就必不可少. 二、引伸铺垫、创设情景 （情景 2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广 到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！ 留时间让学生独立思考或自由讨论， 教师参与讨论或巡回对学困生作启发引 导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、 斜边比值的说法显然是受到阻碍了， 由于 1
6、.1 节已经以直角坐标系为工具来研究 任意角了， 学生一般会想到 （否则教师进行提示） 继续用直角坐标系来研究任意 角的三角函数 . 设计意图： 从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲 突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程. 对 边 邻边 sin= 斜边 对边 ，con= 斜边 邻边 ，tan= 邻边 对边 （图 1） 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新 研究锐角三角函数定义！ 师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）： 把锐角安装 （如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴非负半轴 重合）在直角
7、坐标系中，在角终边上任取一点P，作 PM x 轴于 M ，构造一个 RtOMP ，则 MOP= （锐角），设 P（x,y ） （x0、y0） ，的临边 OM =x 、 对边 MP=y ，斜边长 |OP=r. 根据锐角三角函数定义用x、y、r 列出锐角的正弦、余弦、正切三个比 值，并补充对应列出三个倒数比值： 设计意图： 此处做法简单，思想重要 . 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共 载体，使之既与初中的定义一致， 又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节 已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为 工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义
8、锐角三角函 数，现在要用坐标系来研究， 探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中 锐角三角函数定义 . 这是一个认识的飞跃， 是理解任意角三角函数概念的关键之 一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识 , 能够形成迁移能力 , 为学 生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础. （情景 3）思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P 在的终边上 的位置的改变而改变呢？ 显然， 我们可以将点取在使线段OP 的长1r的特殊 位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表 示锐角三角函数： sin MP b OP ; cos OM a OP ; tan MPb OMa . x O
9、M P(x,y) y sin=，con=，tan= ?=?=?= （图 2） a的终边 P(x,y O x y 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么, 角的概 念推广以后， 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意 角呢？本节课就研究这个问题任意角的三角函数. 先让学生想象思考， 作出主观判断， 再用几何画板动画演示， 同时作好解释 说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识， 探索发现：对于锐角的每一个确定值，三个比值都是 确定的，不会随 P在终边上的移动而变化 . 三、探究新知 1. 探究 : 结合上述锐角的三角函数值的求法, 我们应如何求解任意角
10、的三 角函数值呢 ? 显然, 我们只需在角的终边上找到一个点, 使这个点到原点的距离为1, 然后 就可以类似锐角求得该角的三角函数值了. 所以, 我们在此引入单位圆的定义: 在 直角坐标系中 , 我们称以原点 O为圆心 , 以单位长度为半径的圆 . 2. 思考: 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图, 设是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点( , )P x y, 那么: (1) y 叫做的正弦 (sine),记做 sin, 即siny； （2）x叫做的余弦 (cossine),记做cos, 即cosx； （3） y x 叫做的正切 (tangent),记做 tan, 即tan(
11、0) y x x . 注意: 当是锐角时， 此定义与初中定义相同 （指出对边，邻边，斜边所在）； 当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边 就必然与单位圆有交点( , )P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值. 设计意图： 初中学生对函数理解较肤浅， 这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中 学过的锐角三角函数， 在思维上更上了一个层次， 扣准函数概念的内涵， 突出变 量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据， 是准确理解三角函数概念的关键， 也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结 构的关键 . 这样做能够使学生有效地增强函数观念
12、. x O M P y （图 3） P M 四、探索定义域 （情景 4）1、函数概念的三要素是什么？ 函数三要素：对应法则、定义域、值域. 正弦函数 sin 的对应法则是什么？ 正弦函数 sin 的对应法则，实质上就是sin 的定义：对的每一个 确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即 y/r= sin. 2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义 域，填写下表： 三角函数sin costan 定义域 引导学生自主探索： 如果没有特别说明， 那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定 义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角的取值范围. 关于 sin
13、=y/r 、cos=x/r ，对于任意角（弧度数） ，r 0，y/r 、x/r 恒有意义，定义域都是实数集R. 对于 tan =y/x ，= k+/2 时 x=0，y/x 无意义，tan 的定义域是： | R ，且 k+/2 . 教师指出 : sin、cos、tan 的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的 基础上记熟。 设计意图： 定义域是函数三要素之一， 研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自 主探索确定三角函数定义域， 有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对 三角函数概念的掌握 . 五、符号判断、形象识记 （情景 5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！ 引导学生紧紧抓住三角函数
14、定义来分析，r 0, 三角函数值的符号决定于x、 y 值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀： y x y x y x sin = y/r ：上正下负横为 0 cos=x/r ：左负右正纵为0 tan =y/x ：交叉正负 设计意图： 判断三角函数值的正负符号， 是本章教材的一项重要的知识、 技能要求 . 要 引导学生抓住定义、 数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象 的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. 六、练习巩固、理解记忆 1、自学 例 1：求 5 3 的正弦、余弦和正切值。 2、角的终边经过点P（3，-4） ，求的正弦，余弦及正切值. 课堂练习： p17题 1、2
15、、3 处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义. 强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、/2 、3/2 等，今后 经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值. 设计意图： 及时安排自学例题、 自做教材练习题， 一般性与特殊性相结合， 进行适量的 变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动 进行思维训练， 把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学 始终. 七、回顾小结、建构网络 要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调： 1你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数 具体是怎样定
16、义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，- ，在 终边上任意取定一点P，- ） 2 你如何判断和记忆正弦、 余弦、正切函数的定义域？ （根据定义，-） 3你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位 置， -） 设计意图： 遗忘的规律是先快后慢， 回顾再现是记忆的重要途径， 在课堂内及时总结识 记主要内容是上策 . 此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓 住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力. 八、布置课外作业 1书面作业：习题 1.2 第 1、2 题. 2认真阅读 p20“阅读与思考：三角学与天文学” ，了解三角学在天文学中 的重要作用。 七、教学反思 新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节任意角三 角函数的教案，主要围绕这一点来设计。 到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同 时让学生去辨证这个想
