《高中数学新人教A版必修4学案附答案第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象90》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学新人教A版必修4学案附答案第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象90（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高中数学新人教A版必修 4 学案附答案 1.4.3 正切函数的性质与图象 学习目标： 1. 能画出正切函数的图象( 重点 )2. 掌握正切函数的性质( 重点、难点 )3. 掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线( 易错点 ) 自 主 预 习探新 知 正切函数的图象与性质 解析式ytan x 图象 定义域x x R，且x 2 k，kZ 值域R 周期 奇偶性奇函数 对称中心 k 2 ，0 ，kZ 单调性在开区间 2 k， 2 k ，kZ内都是增函数 基础自测 1思考辨析 (1) 正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2) 正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心( ) (3) 正切函数图
2、象有无数条对称轴，其对称轴是xk 2 ，kZ.( ) (4) 正切函数是增函数( ) 解析 由正切函数图象可知 (1) ，(2) ，(3) ，(4) . 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数y tan 2x 6 的定义域为 _ x x k 2 3 ，kZ 因为 2x 6 k 2 ，kZ， 所以x k 2 3 ，kZ 2 所以函数ytan 2x 6 的定义域为x x k 2 3 ，kZ. 3函数y tan 3x的最小正周期是_ 3 函数ytan 3x的最小正周期是 3 . 4函数y tanx 5 的单调增区间是_ k 3 10 ，k 7 10 ，kZ 令k 2 x 5 k 2 ，k Z
3、得k 3 10 xk 7 10 ，kZ 即函数ytanx 5 的单调增区间是k 3 10 ，k 7 10 ，kZ. 合 作 探 究攻重 难 有关正切函数的定义域、 值域问题 (1) 函数y 1 tan x 4 x 4 且x0 的值域是 ( ) A( 1,1) B ( ， 1)(1 ，) C( ， 1) D ( 1，) (2) 函数y 3tan 6 x 4 的定义域为 _ (3) 函数ytan x 1lg(1 tan x) 的定义域为 _. 【导学号： 84352103】 思路探究 求定义域时， 要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利 用三角函数的图象或三角函数线 ( 1) B(2
4、) x x 4k 4 3 ，kZ (3)x 4 kx0， 即1tan x1. 在 2 ， 2 上满足上述不等式的x的取值范围是 4 ， 4 . 又 因 为ytan x的周期 为， 所以 所 求x的定 义域为 x 4 kx 4 k，kZ. 规律方法 1. 求正切函数定义域的方法 (1) 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证 正切函数ytan x有意义即x 2 k，k Z. (2) 求正切型函数yAtan(x)(A0，0) 的定义域时，要将“x”视为 一个“整体”令xk 2 ，kZ，解得x. 2解形如tan xa的不等式的步骤 提醒： 求定义域时，要注意正切函数
5、自身的限制条件 跟踪训练 1函数y log 1 2tan 4 x的定义域是 ( ) A. x x k 4 ，kZ B.x k 4 xk 4 ，kZ C. x x k 4 ，kZ 4 D.x xk 4 ，kZ B 由题意 tan 4 x0， 即 tanx 4 0， k 2 x 4 k， k 4 xk 4 ，k Z，故选 B. 2求函数ytan 2 3x 3 tan3x 3 1 的定义域和值域 解 由3x 3 k 2 ，kZ，得x k 3 18( k Z) ，所以函数的定义域为 x x k 3 18 kZ. 设ttan3x 3 ， 则tR，yt 2 t1t1 2 23 4 3 4， 所以原函数的值
6、域是 3 4， . 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 (1) 函数f(x) tan2x 3 的周期为 _ (2) 已知函数ytanx 3 ，则该函数图象的对称中心坐标为_ (3) 判断下列函数的奇偶性： y3xtan 2x2x 4； y cos 2 xtan x. 思路探究 (1) 形如yAtan(x)(A0)的周期T | ，也可以用定义法求 周期 (2) 形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x k 2 ，kZ 求出 (3) 先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f( x) 与f(x) 的关系 5 (1) 2 (2) k 2 3 ，0 ，kZ(1) 法一： ( 定义法 )
7、tan 2x 3 tan2x 3 ， 即 tan 2x 2 3 tan 2x 3 ， f(x) tan2x 3 的周期是 2 . 法二： ( 公式法 ) f(x) tan2x 3 的周期T 2 . (2) 由x 3 k 2 (k Z) 得x k 2 3 (k Z) ， 所 以 图象 的 对 称 中 心 坐 标 为 k 2 3 ，0 ，kZ. (3) 定义域为 x x k 2 4 ，kZ，关于原点对称， 又f(x) 3(x)tan 2(x) 2(x) 43xtan 2 x2x 4 f(x) ，所以它是偶函数 定义域为 x x k 2 ，kZ，关于原点对称， ycos 2 xtan xsin xt
8、an x， 又f(x) sin( x) tan( x) sin xtan xf(x) ，所以它是奇函数 规律方法 1. 函数f(x) Atan(x)周期的求解方法： (1) 定义法 (2) 公式法：对于函数f(x) Atan(x) 的最小正周期T | . (3) 观察法 ( 或图象法 ) ：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现 2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为 非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f( x) 与f(x) 的关系 提醒：ytan x，xk 2 ，kZ 的对称中心坐标为 k 2 ，0
9、，kZ. 跟踪训练 3判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) tan 2 xtan x tan x1 ； 6 (2)f(x) tanx 4 tanx 4 . 【导学号： 84352104】 解(1) 由 xk 2 ，kZ， tan x1， 得f(x) 的定义域为 x xk 2 且xk 4 ，kZ， 不关于原点对称， 所以函数f(x) 既不是偶函数，也不是奇函数 (2) 函数定义域为 x x k 4 且xk 4 ，kZ， 关于原点对称， 又f(x) tan x 4 tanx 4 tanx 4 tanx 4 f(x) ， 所以函数是奇函数 正切函数单调性的应用 探究问题 1正切函数ytan x在其
10、定义域内是否为增函数？ 提示： 不是正切函数的图象被直线xk 2 (k Z) 隔开，所以它的单调区间只在 k 2 ，k 2 (kZ) 内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1 4 ，x2 5 4， x1x2，但 tan x1 tan x2. 2如果让你比较tan4 3 与 tan 11 5 的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进 行比较 (1)tan 1， tan 2 ， tan 3 ， tan 4从小到大的排列顺序为_ (2) 求函数y3tan 4 2x的单调区间 7 思路探究 (1) 利用ytan x在 2 ， 3 2 上为增函
11、数比较大小，注意tan 1tan( 1) (2) 先将原函数化为y 3tan2x 4 ，再由 2 k 2x 4 2 k，kZ， 求出单调减区间 (1) tan 2 tan 3 tan 4 tan 1 (1)ytan x在区间 2 ，3 2 上是单调增函数， 且 tan 1 tan( 1) ， 又 2 23 4 13 2 ， 所以 tan 2 tan 3 tan 4 tan 1. (2)y3tan 4 2x 3tan2x 4 ， 由 2 k 2x 4 2 k，kZ得， 8 k 2 x3 8 k 2， kZ， 所以y3tan 4 2x的减区间为 8 k 2， 3 8 k 2 ， kZ. 母题探究：
12、 1. 将本例 (2) 中的函数改为“y3tan 1 2x 4 ”，结果又如何？ 解由k 2 1 2x 4 k 2 (kZ) ， 得 2k 2 x2k 3 2(kZ) ， 函数y3tan 1 2x 4 的单调递增区间是2k 2 ，2k 3 2 ( kZ) 2将本例 (2) 中的函数改为“ylgtan x”结果又如何？ 解因为函数y lg x在(0 ， ) 上为增函数 所以函数ylgtan x的单调递增区间 就是函数ytan x(tan x 0) 的递增区间， 即k， 2 k ，k Z. 规律方法 1. 求函数yAtan(x)(A0，0，且A，都是常数 ) 的单 调区间的方法 (1) 若0，由于
13、ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的 8 思想，令k 2 xk 2 ，kZ，解得x的范围即可 (2) 若0，可利用诱导公式先把yAtan(x) 转化为yAtan ( x) Atan( x) ，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范 围即可 2运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1) 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 (2) 运用单调性比较大小关系 提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A 0， 0) 只有减区间 当 堂 达 标固双 基 1若 tan x1，则 ( ) A2k 4 x2k(kZ) Bx(2k1
14、)(k Z) Ck 4 xk(kZ) Dk 4 xk 2 (k Z) D 因为 tan x1 tan 4 . 所以 4 kx 2 k，kZ. 2在下列函数中同时满足：在0， 2 上递增；以2 为周期；是奇函数的是 ( ) Aytan xBycos x Cytan x 2 Dy tan x CA，D的周期为， B中函数在0， 2 上递减，故选C. 3比较大小：tan 13 4 _tan 17 5 . 【导学号： 84352105】 因为 tan 13 4 tan 4 ， 9 tan 17 5 tan 2 5 ，又 0 4 2 5 2 ， ytan x在 0， 2 内单调递增， 所以 tan 4
15、tan 2 5 ，即 tan 13 4 tan 17 5 . 4求函数ytan( x) ，x 4 ， 3 的值域为 _ ( 3，1)ytan( x) tan x， 在 4 ， 3 上为减函数， 所以值域为 ( 3，1) 5求函数ytan x 2 3 的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心. 【导学号： 84352106】 解由 x 2 3 k 2 ，kZ，得x2k 5 3 ，kZ， 函数的定义域为 x x 2k 5 3， kZ. T 1 2 2，函数的最小正周期为2. 由k 2 x 2 3 k 2 ，kZ，得 2k 3 x 2k 5 3 ，kZ，函数的 单调递增区间为2k 3 ， 2k 5 3 ，kZ. 由 x 2 3 k 2 ，k Z，得xk 2 3 ，kZ， 函数图象的对称中心是k 2 3 ，0 ，kZ.
