《离散数学西安交大版习题解第一部分集合论部分[参考]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学西安交大版习题解第一部分集合论部分[参考]（121页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论 刘国荣 交大电信学院计算机系 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 离散数学习题解答 习题一 ( 第一章集合 ) 1. 列出下述集合的全部元素: 1) A=x | x Nx是偶数x15 2) B=x|xN4+x=3 3) C=x|x是十进制的数字 解 1) A=2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 2) B= 3) C=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2. 用谓词法表示下列集合: 1) 奇整数集合 2) 小于
2、 7 的非负整数集合 3) 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 解 1) nnI(mI)(n=2m+1); 2) nnIn0n2p30(dN)(d1dp(kN)( p=kd) 。 3. 确定下列各命题的真假性: 1) 2) 3) 4) 5) a, ba, b, c, a, b, c 6) a,b(a, b, c, a, b, c) 7) a, ba, b, a, b, 8) a, ba, b, a, b, 解1) 真。因为空集是任意集合的子集; 2) 假。因为空集不含任何元素; 3) 真。因为空集是任意集合的子集; 4) 真。因为是集合 的元素 ; 资料内容仅供您学
3、习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 5) 真。因为 a, b是集合 a, b, c, a, b, c的子集 ; 6) 假。因为 a,b 不是集合 a, b, c, a, b, c的元素 ; 7) 真。因为 a, b是集合 a, b, a, b的子集 ; 8) 假。因为 a,b 不是集合 a, b, a, b的元素。 4. 对任意集合A, B, C, 确定下列命题的真假性: 1) 如果 ABBC, 则 AC。 2) 如果 ABBC, 则 AC。 3) 如果 ABBC, 则 AC。 解 1) 假。例如 A=a, B=a, b, C=a, b, 从而 A BBC但 AC。 2) 假。例如
4、 A=a, B=a, a, C=a, a, 从而 ABBC, 但、 AC。 3) 假。例如 A=a, B=a, b, C=a, a, b, 从而 ACB B C, 但 AC 。 5对任意集合A, B, C, 确定下列命题的真假性: 1) 如果 ABBC, 则 AC。 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 2) 如果 ABBC, 则 AC。 3) 如果 ABBC, 则 AC。 3) 如果 ABBC, 则 AC。 解 1) 真。因为 BCx( xBxC) , 因此 ABA C。 2) 假。例如A=a, B=a, b, C=a, b, c 从而 ABBC, 但 AC。 3)
5、 假。例如 A=a, B=a, b, C=a, a, b, 从而 ABBC, 但 AC。 4) 假。例如A=a, B=a, b, C=a, b, b, 从而 ABBC, 但 AC。 6求下列集合的幂集: 1) a, b, c 2) a, b, c 3) 4) , 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 5) a, b, a, a, b, a, b, a, b 解 1) , a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c 2) , a, b, c, a, a, b 3) , 4) , , , , 5) , a, b 7给定自然数集合N的下列子集 :
6、A=1, 2, 7, 8 B= x|x 250 C=x|x能够被 3 整除且 0 x30 D=x|x=2 K , K I O K6 列出下面集合的元素: 1）ABCD 2）ABCD 3）B( A C) 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 4）( A B) D 解 因为 B=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, C=3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, D=1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, , 故此 1) ABCD=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24,
7、 27, 30, 32, 64 2) A BCD= 3) B( AC) =4, 5 4) ( A B) D=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 32, 64 8设 A、 B、 C 是集合 , 证明: 1) ( AB) =A(BC) 2) ( AB) C=( AC) ( BC) 3) ( AB) C=(AC)B 证明 1) 方法一 : ( AB) C =( AB) C ( 差集的定义 ) 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 =A( BC) ( 交 运算的结合律 ) =A( BC) ( deMorgan 律) =A( BC) ( 差集的定义 ) 方法
8、二 : 对任一元素x( AB) C, 则xC, 同时 , x AB, xA, xB, 因此, xA, xBC, 即xA( B C) , 由此可 见( AB) CA( B C) 。 反之 , 对任一元素xA( B C) , 则xA, 且xBC, 也就是说xA, xB, xC。因此x( AB) C, 由此可 见 A( B C) ( AB) C。 因此 A( BC) 。 2) 方法一 : ( AB) C =A( BC) 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 ( 根据 1) ) =A( CB) ( 并运算交换律 ) =A( ( CB) ) ( 0 1 律) =A( ( C B
9、) ( C C ) ) ( 0 1 律) =A( C( BC) ( 分配律 ) =( AC) ( BC) ( 根据 1) =( AC) ( BC) ( 差集的定义 ) 方法二 : 对任一元素x( AB) C, 可知xA, xB, xC, xAC。又由xB, xBC, x( AC) ( BC) ( BC) 。 因此 ( AB) C( AC) ( BC) 。 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 反之 , 对任x( AC) ( BC) , 可知xAC, xBC。 由xAC, 可知xA, xC。又因为xBC 及xC, 可 知xB。因此 , x( AB) C。因此 ( AB)
10、 C( AB) C。 由此可得 ( AB) ( BC) ( AB) C。 3) 方法一 : ( AC) C =A( BC) ( 根据 1) =A( CB) ( 并运算交换律 ) =( AC) B ( 根据 1) ) 方法二 : 对任一元素x( AB) C, 可知xA, xB, xC。 由为xA, xC, 因此, xAC。 又由xB, x( AC) B。因此 , ( AB) C( AC) B。 同理可证得 ( AC) B( AB) C。 9. 设 A、 B 是全集的子集, 证明 : 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 ABA B=XAB= 解( 采用循环证法 ) (1
11、) 先证 ABA B=X; 方法一 : A B=A (AB) ( 因为条件 AB及定理 4) =(AA)B ( 的结合律 ) =(AA)B ( 的交换律 ) =XB ( 互补律 ) =X ( 零壹律 ) 方法二: ABAB=B ( 定理 4) B=AB 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 ( 等号=的对称性 ) A B=A (AB) ( 两边 同时左并上A) AB=(AA)B ( 的结合律 ) AB=(AA)B ( 的交换律 ) AB=XB ( 互补律 ) AB= ( 零壹律 ) 方法三 : 因为 AX且 BX, 因此根据定理2 的 3) 就有 AB; 另一方面 ,
12、 由于 BAB 及根据换质位律可得B AA B, 因此, 由互补律及再次应用定理2的3) , 可得 X=B BA B, 即 XAB; 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 因此, A B=。 (2) 次证 AB=XAB=; A B=X(A B)=X ( 两边 同时取补运算 ) (A)B=X ( de Morgan律) AB=X ( 反身律 ) AB=X ( 零壹律 ) (3) 再证 AB=AB; 方法一: A=AX ( 零壹律 ) =A(BB) ( 互补律 ) =(AB)(AB) 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 ( 分配律 ) =(AB
13、) ( 条件 AB=) =AB ( 零壹律 ) B ( 定理 2 的 3) 方法二: AB=B=B ( 零壹律 ) =B(AB) ( 条件 AB=) =(BA)(BB) ( 分配律 ) =(AB)(BB) ( 的交换律 ) =(AB)X 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 ( 互补律 ) =AB ( 零壹律 ) AB ( 定理 4 的 2) 10. 对于任意集合A, B, C, 下列各式是否成立, 为什么 ? 1）AB=A CB=C 2）AB=A CB=C 解 1) 不一定。例如 : A=a, B=a, b, C=b。显然有 AB=A C, 但 BC。 2) 不一定
14、。例如 : A=a, B=a, b, C=b, c。显然有 AB=A C, 但 BC。 11设 A, B 为集合 , 给出下列等式成立的充分必要条件: 1）AB=B 2）AB=BA 3）AB=A B 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 4）AB=A 解 1) AB=A B, 由假设可知AB=B, 即 AB=B。由此 可知 B=A BB , 故此 B=B B=。 由 假 设 可 知=AB=B=。 因 此 当AB=B 时 有 A=B=。 反之 , 当 A=B=时, 显然 AB=B。 因此 AB=B的充分必要条件是A=B=。 2) 设 AB, 则有元素 aAB, 那么 ,
15、 a A, 而由假 设 AB=BA。 因此 aBA, 从而 aA, 矛盾。因此 AB=, 故 AB。 另一方面由BA=AB=。 可得 BA。 因此当 AB=BA 时, 有 A=B 。 反之 , 当 A=B时, 显然 AB=BA= 因此 , AB=BA的充要条件是A=B 。 3) 由于 AB=A B, 从而 AAB=A BB, 以及 BA B=A BA故此 AB=A B, 有 A=B 。 5）根据定理 6 的 1) 有 A=A, 由已知条件AB=A, 可 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 得 AB=A。 从而由对称差的消去律可得B=。 反之 , 若 B=, 则 AB=A=A。 因此 AB=A的充分必要条件为B=。 12. 对下列集合 , 画出其文图 : 1）A B 2）A( B C)
